Лабораторна робота 126. Дослідження коливної системи з двома ступенями вільності

Завдання: дослідити особливості коливань двох однакових фізичних маятників зв’язаних пружиною.

Приладдя: лабораторна установка, секундомір, транспортир, набір пружин.

Теоретичний матеріал : гармонічні коливання, їхнє рівняння та розв’язок; амплітуда, частота, фаза, додавання гармонічних коливань одного напряму; биття; фізичний маятник; загасаючі і вимушені коливання.

Література:

1. Р.10. §§. 10.1 - 10.11;

2. Р.8. §.§. 8.1 – 8.14;

3. §§. 15.1 – 15.12;

4. §§. 63 - 70;

5. §§. 50 - 55.

Опис установки : схема лабораторної установки подана на рис.1. Установка складається з двох однакових маятників, зв’язаних пружиною 2, жорсткість якої k. Для вимірювання періодів коливань використано секундомір з фотоелектричним датчиком.

Виведення робочих формул.Розглянемо коливну систему, що має два степені вільності, між якими може здійснюватись перерозподіл енергії. Кути відхилення обох маятників від положення рівноваги будемо вважати додатними у разі зміщення маятників від вертикального положення проти руху годинникової стрілки. Кожний маятник бере участь в періодичному обертовому русі й може бути описаний рівнянням обертового руху тіла. Моменти сил, що діють на маятник матимуть вигляд

(1)

де D – коефіцієнт, що визначається масою і геометрією самого маятника, а , де k – коефіцієнт жорсткості пружини, d – віддаль від точки підвісу маятника до місця кріплення пружини. Рівняння руху маятників

(2)

де I – момент інерції кожного маятника.

Додаючи і віднімаючи рівняння (2), отримуємо

(3)

Кожне з рівнянь (3) описує гармонічні коливання з частотами і або, відповідно, з періодами і :

, (4)

Розв’язки рівнянь (3) мають вигляд

(5)

Меншу з частот (4) називають основною частотою, а коливання, що мають цю частоту – основними. З частотою коливається кожний з маятників, якщо позбутися зв’язку між ними. Коефіцієнти , , , визначають з початкових умов коливань системи.

Розглянемо частинні випадки.

Синфазні коливання.

Задамо початкові умови в такому вигляді: в момент часу t=0

і (6)

Підставивши (6) в (5), отримуємо

, і

(7)

Роль зв’язку у разі такого коливання зникає і маятники коливаються синфазно з основною частотою (рис. 2б).

Зустрічні коливання.

Нехай тепер при t=0 і .

З (5) маємо

. (8)

Маятник здійснює дзеркально-симетричні коливання однакової частоти (рис.2.в). Наявність зв’язку між маятниками тут вже дуже суттєва.

Биття.

Розглянемо початкові умови : , при t=0 і . Коефіцієнти в (5) мають вигляд , , і

(9)

(10)

Рівняння руху маятників (9) і (10) можна інтерпретувати наступним чином. У разі слабкого зв’язку між маятниками (мале ) і рівняння руху можна переписати у вигляді

; , (11)

де ; (12)

Функції і можна розглядати як амплітуди першого і другого коливань, які повільно змінюються з часом порівняно з і , відповідно. Такий вид коливань називається биттями, а час - періодом биття. На рис.3. зображені графіки функцій і . Фази коливань маятників відрізняються на . Під час зменшення амплітуди одного маятника амплітуда другого збільшується. Загальна енергія системи (без врахування втрат) залишається постійною, але весь час переходить від одного маятника до іншого. Між величинами , , і існує просте співвідношення

(13)

Введемо коефіцієнт зв’язку між маятниками

(14)

Тоді X=0 при відсутності зв’язку ( ) і X=1 при жорсткому зв’язку. В загальному випадку коефіцієнт зв’язку змінюється між нулем і одиницею ( ) в залежності від жорсткості пружини k.