Интервальные оценки

Интервальной называется оценка, которая определяется двумя числами – началом и концомм интервала, в котором находится оцениваемый параметр теоретического распределения с некоторой вероятностью.

Пусть найденная по данным выборки статистическая оценка является оценкой неизвестного параметра . Статистическая оценка тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности , т. е., если и

, (5.26)

то чем меньше , тем оценка точнее. Таким образом, величина характеризует точность оценки.

Т. к. – случайная величина, то нельзя категорически утверждать, что удовлетворяет неравенству (5.26). Вероятность , с которой выполняется неравенство (5.26) называется надёжностью (доверительной вероятностью).

. (5.27)

Обычно задаётся наперёд в виде числа, близкого к единице, наиболее често – 0,95; 0,99; 0,999.

Заменим неравенство в формуле (5.27) равносильным двойным неравенством:

Интервал называют доверительным, его границы – доверительными границами.

Доверительный интервал покрывает неизвестный параметр с надёжностью .

Если случайная величина X распределено нормально с математическим ожиданием равным a и среднеквадратическим отклонением известным и равным , то по выборке объёма n можно найти доверительные границы для математического ожидания a по уровнениям

;

, (5.28)

где a_н и a_в – нижняя и верхняя доверительные границы математического ожидания a;

t – коэффициент, определяемый по таблице функции Лапласа, которому соответствует значение функции Лапласа . В этом случае

. (5.29)

Анализ формулы (5.29) показывает, что

- при возрастании объёма выборки n число убывает и, следовательно, точность оценки возрастает;

- при увеличении надёжности возрастают значения t (функция является возрастающей) и , что приводит к уменьшению точности оценки;

- если требуется оценить математическое ожидание с наперёд заданной точностью и надёжностью , то минимальный объём выбоки, который обеспечит эту точность находят по формуле

. (5.30)

Формула (5.30) используется для повторной выборки, для бесповторной выборки минимальный объём пересчитывают по формуле

, (5.31)

где N – генеральной совокупности.

Пример 1. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным среднеквадратическим отклонением . Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания a по , если и .

Решение.

При условии

;

Вычисляем

Получили искомый доверительный интервал:

;

Пример 2. Найти минимальный объём повторной и бесповторной выборок для генеральной совокупности с объёмом N=1000 с , при котором точность оценки математического ожидания нормально распределённого признака будет равна 0,2 при .

Решение.

;

Принимаем объём повторной выборки n=385.

Для бесповторной выборки

Принимаем объём бесповторной выборки .

Если случайная величина X распределена нормально с математическим ожидание равным a и среднеквадратическим отклонением неизвестным, то по выборке объёма n можно найти доверительные границы для математического ожидания a по формулам

;

, (5.32)

где S – исправленное среднеквадратическое отклонение;

– коэффициент Стьюдента, который определяется по таблице в зависимости от надёжности и числа степеней свободы, равное .

При неограниченном возрастании объёма выборки n распределение Стъюдента стремится к нормальному, поэтому при n>30 в формулах (5.32) можно заменить на .

Если случайная величина X распределена нормально и среднеквадратическое отклонение неизвестно, то оценить его помжно по исправленному среднеквадратическому отклонению S, рассчитанному для выборки объёма n, по формулам

;

, (5.33)

где , – нижняя и верхняя доверительные границы среднеквадратического отклонения ;

q – коэффициент распределения , определяемый по таблице в зависимости от и объёма выборки n.

Если q<1, то учитывая, что , .

Пример. Случайная величина X имеет нормальное распределение. По выборке объёма n=10 найдено исправленное среднеквадратическое отклонение S=0,16. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное среднеквадратическое отклонение с надёжностью .

Решение.

По таблице найдём q=1,8 (q>0) при и n=10.

Искомые доверительные границы доверительного интервала:

;

Практическое применение формулы (5.28) и (5.32) получили для оценки истинного значения измеряемой величины, формулы (5.33) – для оценци точности измерений (точности прибора).

Если случайная величина X имеет биноминальное распределение, то оценить неизвестную вероятность p появления события A в каждом испытании можно, рассчитав доверительные границы по формулам

;

где р_н и р_в – нижняя и верхняя доверительные границы неизвестного значения вероятности p;

w – относительная частота (точечная оценка для p).

где m – число появления события A;

n – число испытаний.

Пример. Производят независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью p появления события A в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки p с надёжностью 0,95, если в 80 испытаниях событие A появилось 16 раз.

Решение.

По условию m=16, n=80, .