Состояние объекта - это качественная его характеристика в заданный момент времени, оцениваемая определенными количествен-ными значениями набора некоторых его свойств.

В общем случае оценки характеристик, определяющих состояние объекта, являются какими-либо выходными переменными факторами, под которыми понимаются его «потребительские» свойства.

Примеров известных нам всем математических моделей можно привести много. Вот некоторые из них: математическая запись второго закона механики, закон Кирхгофа, закон Ома, закон, описывающий состояние идеального газа – характеристическое уравнение Клайперона

pv=RT,

где R тоже характеристика газа (газовая постоянная), и многие другие.

Свойства объекта в целом «измеряются» уровнем входящих в подобные ММ отдельных характеристик, изменение которых и свидетельствует об изменении состояния.

В наиболее знакомой нам области науки (теплотехнике) такими характеристиками для объекта, каковым являются идеальный газ, будут давление р и удельный объем газа v, а такжеабсолютная температура газа T. Изменение хотя бы одной из них изменяет свойства объекта: сжатый газ способен совершать работу, нагретый в свободном состоянии – высушивать какое-нибудь сырье.

Все названные характеристики объекта – газа (и любого другого),

способные изменить его состояние, называются переменными (величинами). Категория переменных является составной частью операндов ММ. В них входят также параметры и константы,к которым относятся величины, учитывающие природные свойства объекта. В нашем примере к константам относится универсальная газовая постоянная, R . Внутренние природные свойства объекта не всегда остаются постоянными: они могут меняться с изменением условий существования объекта и даже быть какой-то их функцией. Такие свойства называются параметрами.

Переход из одного состояния в другое определяется условиями, в которых находится объект.

В общем случае объект может характеризоваться любым числом переменных. В зависимости от поставленных составителем математической модели целей используются или учитываются те из них, которые являются значащими.

В природе почти все процессы инерционны, т.е. происходят во времени, поэтому переход объекта из одного состояния в другое может быть описан системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

(2.1)

где х₁,…,x_n – переменные величины, характеризующие состояние объекта; Р - характеристики самого объекта (параметры и константы); F - характеристики условий, в которых производится изменение состояний.

Функциональные зависимости ψ₁,ψ₂,...,ψ_n представляют собой закономерности, связывающие отдельные состояния объекта между собой. В такой записи они выражают скорости изменения переменных при переходе объекта из одного состояния в другое. В общем случае эти зависимости являются частными видами отношений, которые могут устанавливаться между элементами математического множества (состояний).

Переменные, характеризующие состояние объекта, несут функциональную нагрузку, и с этой точки зрения они подразделяются:

· на выходные переменные x₁(t), x₂(t), …x_n(t), отражающие основные стороны поведения системы [вектор Х (t)];

· переменные управления r₁(t), r₂(t), …r_ℓ(t), отражающие воздействия со стороны управляющей части (например, регулятора двигателя внутреннего сгорания - вектор R (t));

· возмущающие воздействия f₁(t), f₂(t), …f_к(t), действующие со стороны внешней среды (вектор F (t));

· переменные воздействия на управляющее устройство n₁(t), n₂(t),... n_р(t), являющиеся помехами в регулирующем устройстве или какой-то дополнительной информацией о возмущениях F, попадающей непосредственно в управляющее устройство (вектор N (t));

· наблюдаемые переменные y₁(t), y₂(t),...y_m(t) - некоторые характеристики выходных переменных, определяемые целью регулирования (вектор У(t)).

Общий вид ММ управляемой системы включает три группы дифференциальных уравнений:

1) связи вектора переменных, включающих, кроме самих переменных, воздействия и их производные, Х₀ (t),и таких же векторов управления и возмущающих воздействий ( R₀ (t) , F₀ (t);

2) связи вектора управления R₀ (t) с векторами переменных воздействия N₀ (t) и наблюдаемых переменных У₀(t) при действующем законе управления g;

3) связи вектора наблюдаемых переменных У₀(t) c выходными переменными (с результатом действия регулятора).

Математическая модель в самом общем случае представляется системой дифференциальных уравнений

Х(Х₀)=Φ (R₀,F₀),

R(R₀)=P(y₀,N₀,g), (2.2)

У₀=cХ₀.

Каждой ММ свойственна область существования. Она может быть непрерывной и дискретной. Непрерывная область характеризуется бесконечно малым изменением свойств объекта в бесконечно малой окрестности рассматриваемой точки. Дискретная – резким изменением в некоторых переходных точках (примеры: переход воды из твердого состояния в жидкое, а потом в парообразное; взрыв урановых материалов при достижении критической массы).

Качественные характеристики иногда плохо описываются количественно. Для перевода качественных характеристик (это обычно нечеткие оценки свойств объекта) в фиксированные количественные показатели используется кодирование их натуральными числами. Примеры таких шкал кодирования – шкала предпочтения Заде (таблица 2.1) и шкала Харрингтона (таблица 2.2).

Таблица 2.1 Шкала кодирования предпочтения Заде

Таблица 2.2 Шкала желательности Харрингтона