Понятие математической модели (ММ). Аксиоматическое и конструктивное определения ММ. Формы представления ММ.

Теория познания – это цепочка из трех звеньев: созерцания, абстрактного мышления и использования результатов его на практике. Этой цепочке соответствуют три раздела научной деятельности, индукция, дедукция и проверка (верификация).

Индуктивный анализ (расчленением объекта) позволяет выяснить сущность явлений, происходящих в изучаемых объектах, и сформулировать зависимости, закономерности и даже законы природы.

Дедукция, рассматривающая сложные объекты, на базе существующих законов природы с использованием формальной логики и математики позволяет получить новые знания–следствия, которые не являются очевидными. На ее основе создаются научные теории (объясняющие и предсказывающие).

Подтверждение их экспериментальными данными (верификация теоретических положений) создает уверенность в правильности математического моделирования, а значит, облегчает создание новых рукотворных объектов.

Все исследования строятся на выделении определяющих факторов, каким – либо образом влияющих на характеристики объекта. Они делятся на значащие и незначащие, которые не учитываются в процессе моделирования (пример о трубке Торичелли).

Не всегда при теоретическом исследовании все явления, определяющие поведение объекта, полностью изучены. Это также должно учитываться при математическом моделировании.

Таким образом, понятие математической модели в аксиоматическом смысле вполне может быть определено как способ исследования сложных систем путем применения к их анализу законов природы, закономерностей различных процессов, характерных для них.

Сложность какого-либо исследования, состоящая в необходимости учета большого количества факторов, определяющих влияние на объект исследования, невозможность достижения решения в виде конечных аналитических зависимостей породили, во-первых, теорию подобия, обеспечивающую согласование результатов экспериментов на физической модели с реальными показателями объекта исследования, и, во-вторых, теорию приближенных вычислений, рутинность и трудоемкость которых побудила исследователей к изысканию средств, автоматизирующих и ускоряющих их проведение. Такими средствами стали ЭВМ.

С учетом всего сказанного можно сформулировать определение математической модели. Математическая модель - это математическое описание совокупности знаний, представлений и гипотез об изучаемом объекте, способное представлять сам объект по некоторому набору его характеристик.

Такое определение вполне приемлемо для всех объектов окружающего мира: физических. растительного мира, общественных, интеллектуальных понятий и явлений. Так как между свойствами всех объектов существуют какие–то связи, которые нужно только описать количественными отношениями (это сложно сделать, но можно), а потом провести анализ полученного результата математическими существующими или вновь созданными методами.

Среди алгоритмических моделей особое место принадлежит так называемым имитационным моделям, предназначенным для имитации физических или информационных процессов, зависящих от времени. В таких моделях рассматриваются, как правило, сложные системы, включающие нечеткие понятия (размытые величины). Точность таких моделей очень условна. В алгоритме имитационных моделей часто содержится человеческое звено. Создание имитационных моделей возможно только при сочетании формального и неформального мышлений.

В определении математической модели следует обратить внимание на следующее обстоятельство: модель всегда должна представлять сам объект по некоторому набору характеристик. Следовательно, можно утверждать, что каждой модели свойственна способность к интерпретациирезультатов анализа по ней по отношению к самому объекту, т.е. способность установления соответствия между некоторой формальной математической моделью и содержательной системой (объектом). В тех случаях, когда формальная система оказывается применимой (интерпретируемой) к содержательной системе, т.е. установлено что между элементами формальной системы и элементами содержательной системы существует взаимно однозначное соответствие, все исходные положения формальной системы получают подтверждение в содержательной системе. Интерпретация считается полной, если каждому элементу формальной системы соответствует некоторый элемент содержательной системы. Если указанное условие нарушается, имеет место частичная интерпретация.