Операторы дифференцирования и передаточные функции. Преобразования Лапласа.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами удобно записывать в символической операторной форме
, (3-10)
где символ назван оператором дифференцирования,
n-ая производная от будет .
Дифференциальные уравнения высокого порядка, имеющие производные в левой и правой части, в операторной форме примет вид
, (3-11)
где ,
.
Многочлен называют собственным оператором объекта (элемента), а многочлен -входным оператором. Собственный оператор характеризует собственное движение описываемого объекта (элемента), то есть движения при отсутствии внешних воздействий. Входной опрератор характеризует воздействие, приложенное к объекту (элементу). Отношение входного оператора к собственному оператору называют передаточной функцией объекта (элемента АСР), описываемого линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
,
тогда решение уравнения (3-11) может быть найдено в виде алгебраического уравнения
(3-12)
Идею перехода к алгебраическому методу решения дифференциальных уравнений дал английский физик Хэвисайд, который и ввел символ .
Однако при решении ряда задач с не нулевыми начальными условиями использование оператора дифференцирования не давали адекватного ответа.
Строгое математическое обоснование такого перехода дал Пьер Симон Лаплас и этот метод получил название операционного исчисления или метод преобразований Лапласа, согласно которому решение дифференциальных уравнений переводится из плоскости оригиналов (плоскости действий переменной t) в плоскость изображений (переменной S). Выполняя действия над изображением оригинала получают изображение ответа. А затем по изображению ответа ищут его оригинал.
Допустим имеем функцию , предположим, что эта функция удовлетворяет условиям Дерихле, существо которых:
а) непрерывность функции и ее производных, это значит в исследуемом интервале функция не имеет разрыва,
б) функция абсолютно интегрируема, т.е. интеграл функции от 0 до ∞ есть конечное число
Возьмем интеграл от функции
, где комплексная переменная,
тогда интеграл уже не будет функцией от , но станет функцией от S.
Обозначим
Этот интеграл назван изображением функции по Лапласу, а то действие, которое отражает этот интеграл, называется прямое преобразование Лапласа. Принято записывать прямое преобразование по Лапласу как , которое называют так же L-преобразованием.
Для большого количества функций изображения найдены.
Например, изображение постоянной величины: .
будет , если в действительной плоскости , то в плоскости изображений 1 становится величиной .
Изображение производной : ; .
Американский математик Карсон предложил ввести преобразования вида , то есть практически изменил масштаб величины. Законы, установленные Лапласом, остаются, но при этом остается 1, а число числом .
Запишем исходное уравнение
(3-13)
в изображениях по Лапласу, умножив обе части уравнения на , получим
(3-14)
Проинтегрируем уравнение (3-14) в области от 0 до ∞
(3-15)
Пусть имеем нулевые начальные условия, то есть ; , тогда в изображениях по Лапласу уравнение (3-15) примет вид
(3-16)
или (3-17)
Последнее означает, что решение дифференциального уравнения в действительной плоскости –плоскости действительной переменной перевели в плоскость изображения- плоскость комплексной переменной , и решают это уравнение как алгебраическое.
Далее по найденному изображению ответа находят его оригинал.
Для нахождения оригинала ответа надо воспользоваться обратным изображением Лапласа
,
для этого существует таблица функций обратных переходов.
Преобразуем дифференциальное уравнение, описывающее движение системы (3-11), по Лапласу, предположив нулевые начальные условия при его решении, введем обозначения:
и ,
где и - изображения функции оригинала и
получают
, (3-18)
здесь ,
При нулевых начальных условиях .
Используя обозначение , решение уравнения (3-18) примет вид
Это уравнение связывает изображения выходной координаты системы с изображением -входного воздействия.
Функция - характеризует динамические свойства системы и называется передаточной функцией . Она представляет собой отношение изображения по Лапласу выходной координаты системы к изображению по Лапласу входного воздействия при нулевых начальных условиях. Подобное определение функции не находится в противоречии с ранее данным определением передаточной функции , т.к. для решения системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях комплексная переменная отождествлена с оператором дифференцирования .
Таким образом, зная передаточную функцию системы и определив изображение воздействия , приложенного к системе, можно найти изображение выходной координаты системы y(t), а затем, переходя от изображения y(s) к оригиналу , получить процесс изменения выходной координаты при наличии входного воздействия.
Имея передаточную функцию нетрудно определить амплитудно-фазовую характеристику этой системы, заменив на
,
где: -частота нанесения входного воздействия и при установившемся колебательном движении системы – частота изменения ее выходной координаты.
Дата добавления: 2015-11-10; просмотров: 1394;