Математические модели с использованием сетей Петри

Сети Петри являются эффективным инструментом дискретных процессов, в частности, функционирования станочных систем. Их особенность заключается в возможности отображения параллелизма, асинхронности и иерархичности.

На рис. 13.3 приводится сети Петри, где Р — конечное непустое множество позиций (состояний); Т — конечное непустое множество переходов (событий), причем p P и t_i T; F: Р x Т — {0, 1, 2, ...}; Н: Т x Р {0, 1, 2, ...} — функции входных и выходных инциденций; μ₀ : Р {0, 1, 2, ...} — начальная маркировка. Вершины сети p P изображены кружками, а вершины t_i T — черточками (баркерами). Дуги соответствуют функциям инцидентности позиций и переходов. Точки в кружочках означают заданную начальную маркировку. Число маркеров в позиции равно значению функции μ: Р {0, 1, 2, ...}. Переход от одной маркировки к другой осуществляется срабатыванием переходов. Переход t может сработать при маркировке μ, если он является возбужденным:

(13.10)

Рис. 13.3. Сеть Петри

Данное условие показывает, что в каждой входной позиции перехода t число маркеров не меньше веса дуги, соединяющей эту позицию с переходом. В результате срабатывания перехода t, удовлетворяющего условию (13.10), маркировку μ заменяют маркировкой μ' по следующему правилу:

(13.11)

По этому правилу в результате срабатывания из всех входных позиций перехода t изымается F(p,t) маркеров и в каждую выходную позицию добавляется H(t,p) маркеров. Это означает, что маркировка μ' непосредственно достижима из маркировки μ. Функционирование сети Петри — последовательная смена маркировок в результате срабатывания возбужденных переходов.

Состояние сети в данный момент времени определяется ее текущей маркировкой. Важная характеристика сети Петри — граф достижимости, с помощью которого описываются возможные варианты функционирования сети. Такой граф имеет вершины, которые являются возможными маркировками. Маркировки μ и μ' соединяются в направлении t дугой, помеченной символами перехода t T или μ^t μ'. Маркировка μ' такая последовательность переходов: τ = t₁, t₂, ..., t_k является достижимой из маркировки μ, если существует, что μ^t1 μ'^t2 ... μ ^tk μ.

В качестве примера рассматривается сеть Петри, изображенная на рис. 4.3.

N = (Р, Т, F, Н, μ₀), где Р = {Р₁, Р₂, Р₃, Р₄, Р₅},

T = {t₁, t₂, t₃, t₄, t₅}, μ₀ = (1, 1, 0, 0, 0). Функции F и Н заданы матрицами

Фрагмент графа достижимости для сети Петри приведен на рис. 13.4.

Рис. 13.4. Фрагмент графа достижимости сети Петри