Теорема Карно.

Эта теорема была доказана немецким термодинамиком Р. Клаузиусом (1822 – 1888) через полвека после публикации идей Карно в 1824 году. Результаты доказательства теоремы Карно для теплового двигателя были естественным путем перенесены на холодильный цикл Карно.

Теорема Карно содержит три результата:

1. Термический коэффициент полезного действия определяется выражением (4.6).

2. Термический коэффициент полезного действия не зависит от свойств рабочего тела.

3. Термический коэффициент полезного действия максимален среди всех других циклов в тех же температурных пределах.

Доказательство первого утверждения уже проведено в (4.6).

Доказательство второго состоит в следующем. Зададимся вопросом: «В каких параметрах состояния, в каких функциональных связях непосредственно проявляются теплофизические свойства конкретных, индивидуальных веществ?». Ответ на вопрос таков: изменение энтропии (см. лекцию 2) рассчитывается через среднюю массовую теплоемкость вещества, а она является характеристикой этого вещества. Далее, уравнения состояния, т.е. зависимость потенциала какого-то рода от всех координат состояния, индивидуально для каждого вещества в любой фазе. Это тоже носитель свойств вещества. Таким образом, изменение энтропии Δs в любом процессе сильно зависит от свойств вещества. Но в связи с тем, что величина Δs входит и в числитель и в знаменатель в выражении для η_t^к, то эту величину можно сократить, и эта процедура строга математически. Отсюда и следует, что величина термического коэффициента полезного действия η_t^к не зависит от свойств рабочего тела, носитель свойств Δs исчезла из выражения для η_t^к.

Доказательство третьего утверждения получим из рассмотрения рис. 4.5.

Рис. 4.5. Иллюстрация к доказательству максимальности

термического коэффициента полезного действия цикла Карно.

На рис. 4.5 показана диаграмма T – s , изображен цикл Карно и любой (произвольный) цикл в тех же температурных пределах Т₁ и Т₂. Вспомним, что

η_t^к = 1 – q₂ / q₁,

где q₁ – количество теплоты, полученной рабочим телом в источнике теплоты,

q₂ – количество теплоты, отданной рабочим телом в холодильнике.

Глядя на рис. 4.5 видно, что q₂ > q₂^к на величину заштрихованной справа налево площади под графиком. Здесь q₂ – отданная теплота в холодильнике любого цикла, q₂^к – то же, но в цикле Карно. Аналогично, видно, что q₁^к > q₁, поэтому в целом η_t^к > η_t для любого цикла, вписанного в цикл Карно. Теорема Карно доказана.

Пример. Температура вспышки паров бензина в двигателе внутреннего сгорания (ДВС) равна примерно 2000⁰С, а температура атмосферы летом 20⁰С. Найти термический коэффициент полезного действия двигателя ДВС, работающего по циклу Карно.