Тождество Бесселя

Задача. Пусть , - ортогональная система функций в . Необходимо выяснить, при каких значениях квадратичное отклонение

будет наименьшим.

Для решения поставленной задачи удобнее рассматривать :

Из последнего равенства понятно, что минимум квадратичного отклонения имеем тогда, когда . Тогда

. (1)

Определение 3. Многочлен

,

где (т.е. определяются по формуле (7) лекции 50), , называется многочленом Фурье по ортогональной системе .

Вывод. Наименьшее квадратичное отклонение функция имеет от многочлена Фурье.

Равенство (1) называется тождеством Бесселя.