Закон Стефана-Больцмана

У 1879 р. Стефан шляхом дослідних вимірювань, а пізніше в 1884 р. Больцман методом термодинамічного аналізу знайшли залежність інтегральної випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла від температури. Вони встановили, що сумарне випромінювання абсолютно чорного тіла пропорційне четвертому ступеню його абсолютної температури:

(1)

де σ = 5,67 • 10^-8 Дж/(м² * с * К⁴) — стала Стефана—Больцмана.

Зазначимо, що хоча закон Стефана—Больцмана справджується лише для абсолютно чорного тіла, проте його вираз можна внести в інтегральну форму закону Кірхгофа

(2)

і полегшити визначення випромінювальної здатності будь-якого тіла. Для цього досить виміряти температуру тіла і знайти його коефіцієнт поглинання:

Е(Т) = А(Т) * σТ⁴ (3)

Закон Стефана—Больцмана стосується лише інтегрального випромінювання і тому не дає інформації про спектральний розподіл енергії випромінювання. В пошуках спектрального розподілу енергії випромінювання чорного тіла вчений Він з термодинамічних міркувань встановив, що

(4)

де с – швидкість світла у вакуумі, а - деяка функція частки від ділення частоти на абсолютну температуру (визначити яку термодинамічним шляхом неможливо).

З виразу (4) випливає, що максимум випромінювальної здатності припадає на деяку частоту випромінювання n_макс, яка зв'язана з абсолютною температурою співвідношенням

(5)

де b₁ – стала, що залежить від вигляду функції f

Вираз (5) називають законом зміщення Віна—Голіцина. Закон зміщення показує, як зміщується максимум випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла при зміні його температури.

Найчастіше закон Віна—Голіцина записують через довжину хвилі λ_макс, що відповідає максимальному значенню випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла, а саме:

(6)

де b = 0,002896 м * К — стала Віна.

За виразом (6) довжина хвилі, що відповідає максимальному значенню випромінювальної здатності ε(n, Т), абсолютно чорного тіла, обернено пропорційна його абсолютній температурі Т (рис. 6).

Закон зміщення широко застосовується. Посилаючись на цей закон, можна пояснити, чому при нагріванні тіл у їхньому спектрі спочатку більш яскраво вимальовується червона частина. Якщо в спектрі випромінювання тіла знайти l_макс – довжину хвилі, на яку припадає максимум випромінювальної здатності r (λ, T), то за законом зміщення можна визначити температуру тіла. На цьому ґрунтується вимірювання високих температур і температури віддалених тіл. Наприклад, знайдено, що в спектрі Сонця l._макс= 0,55 мкм, отже, його температура Т~ 6000 К. Так само знайдено температуру поверхні Полярної Зорі 8200 К, зорі Сіріус 10 000 К та ін.

ε(n, Т)

Рис. 6. Зміщення максимума випромінювальної здатності ε(n, Т) абсолютно чорного тіла

при зміні його температури