Розподіл Стьюдента

Означення 23.3.Закон розподілу випадкової величини , де величина має нормальний розподіл , величина має розподіл “хі з ступенями вільності” та обидві вони незалежні називається розподілом Стьюдентаз ступенями вільності” (або -розподілом).

Для знаходження щільності розподілу Стьюдента використаємо формулу (21.2) та умову незалежності випадкових величин:

Зробимо заміну змінних

.

Тоді щільність розподілу закону Стьюдента набуває вигляду

при .

При розподіл Стьюдента стає розподілом Коші

.

Оскільки щільність розподілу Стьюдента є парна функція, то всі його початкові моменти непарного порядку дорівнюють нулю, отже, . Знайдемо значення для моментів парного порядку.

,

де – бета-функція, яка визначається так: , , . Як відомо, бета-функція зв’язана з гамма-функцією співвідношенням , отже, парні моменти можна записати так:

.

Покладемо в цій формулі , отримаємо

.

При розподіл Стьюдента стає розподілом Коші. А при достатньо великих , розподіл Стьюдента набуває значень близьких до нормального розподілу .