Гамма-розподіл

ЛЕКЦІЯ 23

ДЕЯКІ РОЗПОДІЛИ, ЯКІ ЗАСТОСОВУЮТЬ В МАТЕМАТИЧНІЙ СТАТИСТИЦІ

Питання, що розглядаються в лекції

1. Гамма-розподіл.

2. Розподіл з ступенями вільності (розподіл Пірсона).

3. Розподіл Стьюдента.

4. Розподіл Фішера-Снедекора.

В цій лекції розглядається декілька законів розподілу, які складають необхідний апарат для побудови статистичних критеріїв та оцінок, що застосовуються, перш за все, в математичній статистиці.

Гамма-розподіл

Означення 23.1. Невід’ємна випадкова величина має гамма-розподіл з параметрами та , якщо її щільність розподілу дорівнює

де – гамма-функція.

Окремим випадком гамма-розподілу є показниковий розподіл, для якого , . Дійсно, при таких параметрах

, .

Знайдемо початкові моменти гамма-розподілу.

.

При маємо математичне сподівання випадкової величини

.

Другий початковий момент буде таким:

.

Отже, дисперсія гамма-розподілу дорівнює

.

Приклад 23.1. Скласти композицію двох випадкових величин та , розподілені за гамма-розподілом із параметрами та .

Розв’язання. За формулою (21.3)

.

В останньому інтегралі зробимо заміну , тоді

.

Оскільки

, то при

,

тобто також гамма-розподіл з параметрами .