Розподіли та з ступенями вільності

(розподіл Пірсона)

Розглянемо випадковий вектор , компоненти якого є незалежними, нормально розподіленими випадковими величинами з параметрами .

Означення 23.2. Закон розподілу випадкової величини називається розподілом “хі з ступенями вільності”.

Знайдемо функцію та щільність розподілу цієї випадкової величини. Щільність розподілу випадкових величин має вигляд

.

Функція розподілу випадкової величини за означенням дорівнює

Знайдемо вираз для :

,

де .

Введемо заміну . Тоді

.

Застосуємо узагальнені сферичні координати:

;

;

...........

.

Тоді . Якобіан перетворення дорівнює

.

Область, по якій треба інтегрувати, симетрична відносно початку координат, а підінтегральна функція парна відносно кожної змінної. Отже, достатньо обчислити цей інтеграл тільки по тій частині області, де , а результат помножити на відповідне число, яке навіть нема необхідності знати, тобто

де – деяка константа. Обчислимо її, враховуючи, що

. Маємо . Отже,

.

Введемо заміну змінних

.

Остаточно функція розподілу має вигляд

при .

Запишемо щільність розподілу випадкової величини :

Розглянемо ще одну випадкову величину вигляду і знайдемо її закон розподілу.

.

Отже,

Означення 23.3. Закон розподілу випадкової величини називається розподілом “хі-квадрат з ступенями вільності” ( або розподілом Пірсона).

Із результатів лекції 20 випливає, що щільності розподілів та пов’язані співвідношенням , .

Таким чином,

Із вигляду щільності розподілу видно, що розподіл є окремим випадком гамма-розподілу з параметрами та . Отже, числові характеристики розподілу знайдемо з числових характеристик гамма-розподілу:

, .

123 4

Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 524;