Теоремы второго метода Ляпунова

Рассмотрим теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости состояния равновесия автономной системы.

Теорема об асимптотической устойчивости. Состояние равновесия системы является асимптотически устойчивым, если для положительно определенной функции Ляпунова V(x) ее полная производная в силу системы (13) есть отрицательно определенная функция, т. е. при выполнении условий

(16)

Если к тому же функция Ляпунова V(x) радиально неограничена, т.е. в любом направлении, то нулевое состояние равновесия является глобально асимптотически устойчивым.

Пример. На рис. ниже изображена графически функция Ляпунова .

Теорема об экспоненциальной устойчивости. Состояние равновесия системы (13) будет экспоненциально устойчивым, если для положительно определенной функции Ляпунова V(x) ее полная производная в силу уравнений системы есть отрицательно определенная функция и обе эти функции удовлетворяют следующим квадратичным ограничениям:

(17)

где c_i= const >0,

Теорема о неустойчивости. Состояние равновесия системы (13) является неустойчивым, если для положительно определенной функции Ляпунова V(x) ее полная производная в силу системы представляет собой также положительно определенную функцию.

Поскольку от функции V(x)требуется только знакоопределенность, для одной и той же системы (13) можно выбирать различные функции Ляпунова, которые могут привести к более «широким» или «узким» условиям устойчивости.

Приведенные теоремы дают только достаточные, но не необходимые условия устойчивости и неустойчивости и не указывают способы нахождения подходящих функций V(x), в чем и заключается основная сложность применения второго метода Ляпунова.

Таким образом, если не выполняются условия ни одной из приведенных теорем, то об устойчивости системы (13) ничего сказать нельзя. Вероятно, в этом случае функция Ляпунова была выбрана неудачно.

Пример 2.

С помощью второго метода Ляпунова оценить устойчивость системы, поведение которой описывают следующие уравнения:

Полагаем u = 0 и рассмотрим автономную систему

Выберем для нее в качестве функции Ляпунова следующую функцию:

V(0) = 0.

Определим теперь полную производную функции Ляпунова вдоль траектории движения автономной системы

.

Полная производная функции Ляпунова не является отрицательно определенной функцией, поскольку обращается в нуль не только в начале координат пространства состояний, но и на всей оси x₁. Это означает, что не выполняются условия ни одной из приведенных теорем. Следовательно, об устойчивости положения равновесия системы сказать ничего нельзя, функция Ляпунова выбрана неудачно.

Попробуем оценить устойчивость системы с помощью новой функции

,

для которой определим полную производную

.

В это выражение вместо производных переменных состояния подставим правые части уравнений автономной системы:

.

Как видим, полная производная новой функции Ляпунова есть отрицательно определенная функция. Следовательно, исходная система является асимптотически устойчивой.

Примечание. Произвольно выбранную положительно определенную функцию Ляпунова V(x) обычно называют кандидатом на функцию Ляпунова. Если полная производная этой функции вдоль траектории движения автономной системы является отрицательной, , то только тогда ее называют функцией Ляпунова.

Устойчивость линейных систем.

Непрерывная автономная линейная система, описываемая уравнением

,

является асимптотически устойчивой, означающее, что

если и только если существует квадратичная функция Ляпунова

,

такая, что условия

выполняются вдоль траектории движения системы. Так как

,

то положительная определенность V(x) и отрицательная определенность вдоль траеторий движения системы могут быть выражены неравенствами

.

Заметим, что

,

так что матрица Ляпунова может быть выбрана симметричной без потери общности.

Неравенства Ляпунова могут быть представлены эквивалентно уравнением Ляпунова,

где , >0.

· Следующие утверждения эквивалентны: Система является асимтотически устойчивой, если Для некоторой матрицы >0 существует положительно определенное решение >0 уравнения Ляпунова,

· Для всех матриц >0 существует положительно определенное решение >0 уравнения Ляпунова.

Заканчивая обсуждение второго метода Ляпунова, отметим, что для нелинейных систем он дает лишь достаточные условия устойчивости. При этом «запас» устойчивости может быть очень большим, но оценить его количественно удается лишь для частных классов систем. По этой причине второй метод Ляпунова чаще всего используется при выводе вторичных критериев устойчивости.