Доказательство достаточности.

I группа. Простейшее: .

1. Если , , то корни и характеристического уравнения имеют одинаковые знаки (т.к. , а ). Далее, т.к. , то знак одинаков со знаками и , а т.к. , то имеет знак им противоположный. Отсюда следует, что простейшее уравнение приводится к виду: . берётся наименьшим по абсолютной величине. Теперь, т.к. ; , то уравнение является каноническим уравнением эллипса с полуосями: , .

2. Если , , то , и имеют одинаковые знаки и значит, простейшее уравнение приводится к виду: и будет являться уравнением мнимого эллипса ; .

3. Если , , то простейшее уравнение принимает вид: , причём и в силу условия имеют одинаковые знаки; то последнее уравнение можно переписать в виде: или , где , . Таким образом, мы пришли к уравнению двух мнимых пересекающихся прямых.

4. Если , , то и разных знаков. Обозначим через тот из корней характеристического уравнения, который имеет знак, противоположный знаку , и перепишем простейшее уравнение так: . Здесь , и, полагая ; получаем каноническое уравнение гиперболы: .

5. Если , , то простейшее уравнение принимает вид: . Здесь и разных знаков (т.к. ). Считая , , запишем это уравнение в виде: или , где , . Таким образом, мы пришли к уравнению двух пересекающихся прямых.

6. Если , , то простейшее уравнение является уравнением параболы.

7. Если , то простейшее уравнение имеет вид: или . Отсюда следует, что если , то уравнение является уравнением двух параллельных прямых, если - то уравнением двух мнимых параллельных прямых, а если - то уравнением двух совпадающих прямых. Достаточность доказана.

Доказательство необходимости проводится методом от противного. Пусть, например, общее уравнение линии второго порядка, заданное относительно ДПСК, является уравнением эллипса; требуется доказать, что , . Полагая , заключаем, что данное уравнение является уравнением одной из линий , указанных в нашей таблице.

Итак, . Предполагая, что , заключаем, что данное уравнение является либо уравнением мнимого эллипса, либо уравнением двух мнимых пересекающихся прямых. Значит, .

Аналогично, методом от противного c использованием доказанной достаточности признаков, указанных в последней таблице, доказывается необходимость всех этих признаков.

Следствие. Для того, чтобы линия второго порядка, заданная общим уравнением относительно ДПСК распадалась на две прямые, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: .

Доказательство. Из доказанной теоремы 3 следует, что если для линии I группы , то соответствующее уравнение является уравнением двух прямых, а если , то уравнение линии I группы не является уравнением двух прямых. Для параболы (группа II) , а для всех линий второго порядка III группы, каждая из которых распадается на две прямые, . Следствие доказано.

Для решения задач, давайте запомним формулу для определения центра линии второго порядка, которую чуть позже мы докажем. Центр линии второго порядка заданной относительно ДПСК общим уравнением

определяется из следующей системы уравнений: