Глава 11. Линии второго порядка, заданные общими уравнениями. Аналитическая геометрия.

Аналитическая геометрия.

Лекция 8. § 141. Теория инвариантов

Общее уравнение линии второго порядка записывается в следующем виде:

Следующие выражения: . . .

, где являются инвариантами по отношению к преобразованию одной Декартовой прямоугольной системы координат в другую Декартовую прямоугольную систему координат (ДПСК). Это означает, что если

- уравнение линии второго порядка в ДПСК, а

- уравнение той же линии, полученное преобразованием одной ДПСК в другую ДПСК, то: . . .

.

§ 143. Определение канонического уравнения линии второго порядка при помощи инвариантов. Распадение линии второго порядка на две прямые.

Теорема 1. Для того, чтобы линия второго порядка, заданная общим уравнением относительно ДПСК относилась к первой группе, необходимо и достаточно, чтобы ; ко второй - , ; к третьей - , , .

Доказательство необходимости.

1. Предположим, что линия второго порядка принадлежит к первой группе, т.е. её общее уравнение заданное относительно ДПСК, преобразованием прямоугольной системы координат в прямоугольную (т.е. ортогональным преобразованием) может быть приведено к виду

I. где В таком случае: .

2. Предположим, что линия второго порядка принадлежит ко второй группе, т.е. её общее уравнение заданное относительно ДПСК, преобразованием прямоугольной системы координат в прямоугольную может быть приведено к виду

II. где

В таком случае: .

3. Предположим, что линия второго порядка принадлежит к третьей группе, т.е. её общее уравнение заданное относительно ДПСК, преобразованием прямоугольной системы координат в прямоугольную может быть приведено к виду

III. где

В таком случае: ,

Необходимость доказана.

Доказательство достаточности получается сразу методом от противного. Докажем, например, пункт 1.

1. Предположим, что требуется доказать, что линия второго порядка принадлежит к I группе. Предположим, что эта линия принадлежит ко II или III группе; тогда (в силу необходимости) , и мы приходим к противоречию. Аналогично доказывается, что в случае , линия принадлежит ко II группе, а в случае , , - к III.

Теорема 2. Если линия второго порядка задана общим уравнением относительно ДПСК, то её простейшее уравнение имеет вид:

I. ,

II. ,

III. ,

Соответственно тому, является ли эта линия I, II или III группы, где и - корни характеристического уравнения квадратичной формы: или .

Доказательство. 1. Пусть линия второго порядка принадлежит к I группе; тогда её простейшее уравнение имеет вид: , где ; . Находим: ,

; так что и корни и уравнения (что следует из теоремы Виета). И, далее: . Откуда: . И мы получаем, что , что в пункте 1 мы и хотели получить.

2. Пусть линия второго порядка является линией II группы, (т.е. является параболой). Тогда её простейшее уравнение имеет вид: .

Находим: , , откуда , т.е. . Пункт 2 доказан.

3. Пусть, наконец, линия второго порядка является линией III группы, т.е. её простейшее уравнение имеет вид: . Находим: , , , но для линии III группы является ортогональным инвариантом, поэтому: ; откуда: и мы получаем: , что и требовалось доказать.

Теорема 3. В следующей таблице даны необходимые и достаточные признаки каждого из девяти классов линий второго порядка.

Группа	№	Название линии
I		Эллипс	,
	Мнимый эллипс	,
	Две мн. перес. пр.	,
	Гипербола	,
	Две пересек. прям.	,
II		Парабола	,
III		Две паралл. прям.	, , ,
	Две мн. пар. прям.	, , ,
	Две совпадающие Прямые	, , ,