Глава 11. Линии второго порядка, заданные общими уравнениями. Аналитическая геометрия.
Аналитическая геометрия.
Лекция 8. § 141. Теория инвариантов
Общее уравнение линии второго порядка записывается в следующем виде:
Следующие выражения: . . .
, где являются инвариантами по отношению к преобразованию одной Декартовой прямоугольной системы координат в другую Декартовую прямоугольную систему координат (ДПСК). Это означает, что если
- уравнение линии второго порядка в ДПСК, а
- уравнение той же линии, полученное преобразованием одной ДПСК в другую ДПСК, то: . . .
.
§ 143. Определение канонического уравнения линии второго порядка при помощи инвариантов. Распадение линии второго порядка на две прямые.
Теорема 1. Для того, чтобы линия второго порядка, заданная общим уравнением относительно ДПСК относилась к первой группе, необходимо и достаточно, чтобы ; ко второй - , ; к третьей - , , .
Доказательство необходимости.
1. Предположим, что линия второго порядка принадлежит к первой группе, т.е. её общее уравнение заданное относительно ДПСК, преобразованием прямоугольной системы координат в прямоугольную (т.е. ортогональным преобразованием) может быть приведено к виду
I. где В таком случае: .
2. Предположим, что линия второго порядка принадлежит ко второй группе, т.е. её общее уравнение заданное относительно ДПСК, преобразованием прямоугольной системы координат в прямоугольную может быть приведено к виду
II. где
В таком случае: .
3. Предположим, что линия второго порядка принадлежит к третьей группе, т.е. её общее уравнение заданное относительно ДПСК, преобразованием прямоугольной системы координат в прямоугольную может быть приведено к виду
III. где
В таком случае: ,
Необходимость доказана.
Доказательство достаточности получается сразу методом от противного. Докажем, например, пункт 1.
1. Предположим, что требуется доказать, что линия второго порядка принадлежит к I группе. Предположим, что эта линия принадлежит ко II или III группе; тогда (в силу необходимости) , и мы приходим к противоречию. Аналогично доказывается, что в случае , линия принадлежит ко II группе, а в случае , , - к III.
Теорема 2. Если линия второго порядка задана общим уравнением относительно ДПСК, то её простейшее уравнение имеет вид:
I. ,
II. ,
III. ,
Соответственно тому, является ли эта линия I, II или III группы, где и - корни характеристического уравнения квадратичной формы: или .
Доказательство. 1. Пусть линия второго порядка принадлежит к I группе; тогда её простейшее уравнение имеет вид: , где ; . Находим: ,
; так что и корни и уравнения (что следует из теоремы Виета). И, далее: . Откуда: . И мы получаем, что , что в пункте 1 мы и хотели получить.
2. Пусть линия второго порядка является линией II группы, (т.е. является параболой). Тогда её простейшее уравнение имеет вид: .
Находим: , , откуда , т.е. . Пункт 2 доказан.
3. Пусть, наконец, линия второго порядка является линией III группы, т.е. её простейшее уравнение имеет вид: . Находим: , , , но для линии III группы является ортогональным инвариантом, поэтому: ; откуда: и мы получаем: , что и требовалось доказать.
Теорема 3. В следующей таблице даны необходимые и достаточные признаки каждого из девяти классов линий второго порядка.
Группа | № | Название линии | |
I | Эллипс | , | |
Мнимый эллипс | , | ||
Две мн. перес. пр. | , | ||
Гипербола | , | ||
Две пересек. прям. | , | ||
II | Парабола | , | |
III | Две паралл. прям. | , , , | |
Две мн. пар. прям. | , , , | ||
Две совпадающие Прямые | , , , |
Дата добавления: 2015-08-11; просмотров: 988;