Директрисы эллипса

Две прямые, перпендикулярные оси эллипса, на которой расположены его фокусы, и отстоящие от центра эллипса на расстоянии ,где а - большая полуось эллипса, ае - его эксцентриситет, называются директрисами эллипса.

Окружность, для которой е = 0 не имеет директрис т.е. понятие директрис дается только для эллипса.

Если эллипс задан каноническим уравнением, причем (т.е. фокусы расположены на оси Ох) то уравнения директрис имеют вид:

Так как ; то , и, значит, директрисы эллипса отстоят от его центра дальше, чем вершины (см. рис.). Фокус и директриса эллипса, расположенные по одну сторону от меньшей оси эллипса, называются соответствующими друг другу.

Таким образом, фокусы соответствует директриса , а фокусу - директриса .

Теорема. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса эллипса к расстоянию от той же точки до директрисы, соответствующей рассматриваемому фокусу, было равно эксцентриситету эллипса.

Доказательство: Необходимость. Рассмотрим, например, фокус и соответствующую ему директрису . Расстояние от точки М(х, у) до

фокуса вычисляется по формуле .

Расстояние от той же точки М(х, у) эллипса до прямой вычисляется по формуле .

Итак: .

Отсюда Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что , где , есть расстояние от точки М до фокуса , а - расстояние от той же точки до директрисы , соответствующей фокусу .

Доказательство достаточности.

Возьмем каноническое уравнение эллипса, где a > b. Рассмотрим, например, фокус этого эллипса и соответствующую ему директрису .

Пусть М(х, у) такая точка, что

,

где - расстояние от точки М до фокуса , а - расстояние от точки М до директрисы .

Докажем, что точка М(х,у) лежит на эллипсе.

В самом деле, т.к.

; ,

то из соотношения

или ,

находим:

Упрощая это уравнение, получим . А это означает, что точка М(х, у) ежит на эллипсе.

Расстояние m от фокуса эллипса до его директрисы равно

,

а эксцентриситет определяется формулой:

.

Из этих соотношений находим

Отсюда следует, что если на плоскости задана произвольно точка , прямая, не проходящая через эту точку (отстоящая от точки на расстоянии ) и задано произвольное положительное число е, меньшее 1, то существует эллипс, для которого точка - фокус, заданная прямая – директриса, а е- эксцентриситет. Центр этого эллипса находится на расстоянии

от точки (по одну сторону с точкой от данной прямой), а большая полуось

Отсюда и из только что доказанной теоремы следует, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, для каждой из которых отношение расстояния от данной точки к расстоянию до данной прямой , не проходящей через точку , равно данному положительному числу, меньшему 1.

Исключением является окружность, которая данным свойством не обладает.