Параметрические уравнения эллипса

Пусть дан эллипс каноническим уравнением . (1)

Рассмотрим окружность

, (2)

которая переходит в данный эллипс в результате сжатия

(3)

Пусть М(х, у) – произвольная точка данного эллипса, - ее образ на окружности. Обозначим через угол от положительного направления оси Ох до луча ОР.

Тогда

и, следовательно,

.

Уравнения

И являются параметрическими уравнениями эллипса.

Параметр называется эксцентрическим углом точки эллипса. Если задана точка эллипса, то для нахождения надо построить окружность на большей оси эллипса как на диаметре и через точку М провести прямую, параллельную малой оси эллипса.

Точка пересечения этой прямой с окружностью, лежащая по ту же сторону от большей оси эллипса, что и точка М, является прообразом точки М(х,у) при равномерном сжатии Угол от оси Ох до луча ОР и являются эксцентрическим углом , соответствующим взятой точки М на эллипсе (см. рис.).