Граничные условия.

До сих пор рассматривалось электростатическое поле в однородном пространстве. Если имеются две (или более) разнородные среды, то для определения поля необходимо знать граничные условия для составляющих векторов Е и D и потенциала на границе раздела. Электростатическое поле является частным случаем электромагнитного поля. Поэтому граничные условия для векторов Е и D должны выполняться и для электростатического поля. Эти условия имеют вид:

(14)

(15)

Так как при решении конкретных задач, как правило, оперируют с функцией , то от условий для векторов Е и D нужно перейти к граничным условиям для потенциала . Используя соотношение (3) следующее равенство:

(16)

где оператор означает дифференцирование по любому направлению в плоскости, касательной к поверхности раздела в рассматриваемой точке. Интегрируя равенство (16) по , получаем

(17)

(18)

Соотношение (18) нарушается, если на поверхности раздела имеется двойной заряженный слой.

Переходя в формулах (3.14) к функции и, получаем второе граничное условие для электростатического потенциала:

(19)

где оператор означает дифференцирование по нормали к поверхности раздела, направленной из второй среды в первую.

Если одна из сред является проводником, то граничные условия принимают более простой вид. В самом деле, при анализе макроскопических свойств поля проводник можно рассматривать как замкнутую область, внутри которой возможно свободное перемещение зарядов. Плотность потока зарядов, т.е. плотность тока проводимости в проводнике, пропорциональна напряженности электрического поля: . В электростатике перемещение зарядов отсутствует: . Так как , то напряженность электростатического поля внутри проводника должна быть равна нулю. Это - одна из особенностей электростатического поля. Известно, что переменное электромагнитное поле не проникает в идеальный металл. Электростатическое поле равно нулю внутри любого реального проводника.

Внутри проводника grad и = 0. Откуда и = const. Следовательно, в электростатике все точки проводника имеют один и тот же потенциал. Это позволяет говорить о потенциале проводника. Потенциалы изолированных друг от друга проводников могут, конечно, иметь разные значения.

Найдем граничные условия на поверхности проводника для составляющих векторов Е и D. Пусть первая среда - диэлектрик, а вторая - проводник. Тогда, полагая и , получаем

(20)

(21)

Условия (3.19) и (3.20) можно переписать в векторной форме:

(22)

Подчеркнем, что в случае переменного поля аналогичные условия выполняются лишь на поверхности идеального проводника, а в электростатике условия (20)—(22) справедливы при любой отличной от нуля удельной проводимости второй среды.

Граничные условия для потенциала на поверхности проводника получаются из формул (20) и (21):

(23)

(24)

Нормаль считается внешней по отношению к проводящей среде.

Из условия (23) следует, что поверхность проводника всегда эквипотенциальна.

3. Энергия электростатического поля.

Как известно из курса физики, энергия электростатического поля, сосредоточенного в объеме , определяется формулой (1.131) . Эту формулу можно преобразовать таким образом, чтобы энергия была выражена через заряды. Заменяя вектор Е через и используя тождество , где и - произвольные векторная и скалярная функции, имеющие первые производные, получаем

(25)

Последний интеграл в (25) преобразуем по теореме Остроградского-Гаусса:

(26)

где -поверхность, ограничивающая объем V.

Предположим, что заряды, создающие электростатическое поле, сосредоточены в ограниченной области , и распространим интегрирование в формуле (26) на все пространство. Таким образом, интеграл (26) при убывает как и в пределе равен нулю. Учитывая, что , получаем окончательное выражение для энергии электростатического поля:

(27)

Если электростатическое поле создается поверхностными зарядами, распределенными по поверхности с плотностью , то выражение для энергии электростатического поля принимает вид

(28)

В случае распределения зарядов вдоль контура с плотностью (заряженная нить):

(29)

В общем случае при наличии зарядов всех трех типов

Рассмотрим частный случай, когда электростатическое поле создается зарядами, расположенными на проводниках. Пусть имеется проводников (рис. 11), потенциалы которых равны соответственно . Так как потенциал проводника имеет одинаковые значения во всех его точках, а заряды распределены по его поверхности, то, применяя формулу (28), получаем

(30)

где

- полный заряд -го проводника, a - плотность поверхностных зарядов, с которой заряд распределен по поверхности

рассматриваемого проводника.

Выражение для энергии уединенного проводника, т.е. бесконечно удаленного от других тел и зарядов, находится из формулы (30) как частный случай. Полагая в (30) , получаем

(31)

На энергию электростатического поля не распространяется принцип суперпозиции. Поэтому энергия системы проводников не равна суммарной энергии уединенных проводников. Представим потенциал -го проводника в виде суммы:

(32)

где - потенциал уединенного проводника, а -потенциал, создаваемый действием всех остальных проводников. Подставляя (32) в (30), получаем

,

где

Величину принято называть собственной энергией системы проводников, a - взаимной энергией.

Можно показать, что заряды, находящиеся на системе заданных проводников, расположенных в диэлектрике, распределяются по поверхности этих проводников таким образом, что энергия получающегося в результате электростатического поля минимальна. Это важное утверждение известно под названием теоремы Томсона.

4. Емкость

Потенциал уединенного проводника зависит от его размеров и формы, а также от величины имеющегося на нем заряда. При равных потенциалах уединенные тела разной формы или размеров обладают зарядами разной величины. Отношение величины заряда к потенциалу при условии, что потенциалы бесконечно удаленных точек считаются равными нулю, называется емкостью уединенного проводника;

(33)

Емкость измеряют в фарадах (Ф = Кл/В). С учетом формулы (33) выражение для энергии электростатического поля уеди­ненного заряженного проводника (31) принимает вид

(34)

Если проводник не уединен, то потенциал, приобретаемый им при сообщении ему какого-либо заряда, существенно зависит от формы и расположения других проводников. Заряженные тела создают электрическое поле, под действием которого заряды на всех соседних проводящих телах перераспределяются. Перераспределение продолжается до тех пор, пока суммарное электрическое поле внутри каждого проводника не станет равным нулю.

Рассмотрим систему из проводников с зарядами соответственно. Потенциал каждого проводника линейно зависит от величины зарядов , т.е. должно выпол­няться п соотношений вида

(35)

где -потенциал т-го проводника, а -некоторые постоянные, называемые потенциальными коэффициентами, зависящие от размеров, формы и взаимного расположения проводников. Коэффициент численно равен потенциалу -го проводника, наведенному зарядом -го проводника при условии, что заряд последнего равен 1 Кл. а заряды остальных - нулю. Например, численно равен потенциалу проводника 1, наведенному единичным зарядом проводника при отсутствии зарядов на остальных проводниках.

Система уравнений (35) определяет потенциалы проводников через заряды Q и потенциальные коэффициенты . Если потенциалы проводников и потенциальные коэффициенты известны, то система (35) позволяет однозначно определить заряды проводников

(36)

Постоянные коэффициенты однозначно определяются потенциальными коэффициентами , и находятся при решении системы (35) относительно зарядов . Из уравнений (36) следует, что коэффициент численно равен заряду проводника, если потенциал с-го проводника равен единице, а потенциалы остальных проводников - нулю.

Отметим, что потенциальные коэффициенты и коэффициенты удовлетворяют правилу взаимности:

(37)

Обычно систему уравнений (36) записывают в несколько иной форме. Прибавим к правой части т-го уравнения системы равное нулю выражение В результате получим следующую систему уравнений:

где

(38)

Коэффициенты называют частичными емкостями. Иногда вводят различные названия для коэффициентов с одинаковыми и разными индексами: коэффициент называют собственной емкостью проводника, а - взаимной емкостью и проводников. Отметим, что собственные емкости уединенных проводников могут отличаться от коэффициентов . Аналогично взаимные емкости двух проводников, отделенных от остальных, могут отличаться от соответствующих коэффициентов , так как частичные емкости и определяются не только рассматриваемыми проводниками, но и всеми остальными проводниками системы.

Из формул (3.36) и (3.37) следует, что частичные емкости также удовлетворяют правилу взаимности: .