Граничные условия

В электростатическом поле рассматривают два типа границ:

1. Диэлектрик – Проводник.

2. Диэлектрик – Диэлектрик.

Для каждого типа границы есть два граничных условия:

1. Для первого типа границы Диэлектрик – Проводник:

а) отсутствует тангенциальная (касательная к поверхности) составляющая вектора напряженности электрического поля

.

б) вектор электрического смещения D в любой точке диэлектрика, непосредственно примыкающей к поверхности тела, численно равен плотности заряда на поверхности проводящего тела в этой точке

Докажем это:

а) Так как тело проводящее , то .

Так как , то .

б) Мысленно выделим бесконечно малый параллелепипед. Верхняя грань расположена на поверхности проводящего тела, нижняя в диэлектрике. Параллелепипед малой толщины (сплющенный). Применим к нему теорему Гаусса в интегральной форме

.

Пренебрегаем потоком через боковые грани, так как параллелепипед плоский. Поток через «дно» отсутствует, так внутри проводящего тела и . Есть поток только через верхнею грань .

Тогда теорема Гаусса запишется:

.

Так как угол между вектором и вектором нормали равен нулю, то:

;

.

2. Для второго типа границы Диэлектрик – Диэлектрик:

а) тангенциальные составляющие поля равны

.

б) равны нормальные составляющие электрического смещения

.

Докажем это:

а) Выделим плоский замкнутый контур mnpqm и составим вдоль него циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Составляющими интеграла вдоль вертикальных сторон в силу их малости пренебрежем.

;

.

б) Мысленно выделим на границе раздела двух сред бесконечно малый параллелепипед. Внутри выделенного объема нет свободных зарядов, поэтому

.

Поток вектора через верхнею грань:

.

Поток вектора через нижнюю грань:

;

;

;

.

Если вектор электрического смещения подходит под 90 градусов к границе раздела, то

;

.

Граничные условия необходимо учитывать для любой задачи расчета поля вблизи 2–х сред. На их базе разработан ряд методов для расчета полей в пограничной зоне.