Производная по направлению. Градиент.

Лекция № 6-7

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в .

Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из . Каждый луч задается единичным вектором с координатами и определяет некоторое направление.

Фиксируем луч, выходящий из точки . На прямой, содержащей этот луч, возьмем точку и рассмотрим вектор . Так как , то , или

. (1)

Равенство (1) показывает, что на прямой, проходящей через точку и определяемой вектором , функция представляет собой сложную функцию одной переменной .

Определение. Производную указанной сложной функции по переменной взятую в точке , называют производной функции в точке по направлению, определяемому единичным вектором .

. (2)

Определение. Градиентом функции в данной точке называется вектор, координаты которого имеют вид , , .

. (3)

. (4)

Производная функции в точке по направлению, определяемому градиентом этой функции, имеет максимальное значение по сравнению с производной в этой точке по любому другому направлению. Значение производной функции по направлению, определенному градиентом этой функции в данной точке равно .

.

Таким образом, направление градиента – направление быстрейшего роста функции; противоположное направление – направление быстрейшего уменьшения функции. Направления, перпендикулярные к направлению градиента – направления постоянства функции.

Для функции направление градиента перпендикулярно линиям уровня.

Для функции направление градиента перпендикулярно поверхностям уровня.

Если градиент функции находится не в фиксированной точке , то этот вектор называется полем градиента функции .

Пример 1. Дана функция . Найти и , где ; .