Последовательное соединение резистора, катушки индуктивности и конденсатора.

Рис. 15.1.

Рассмотрим двухполюсник, состоящий из последовательно включенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рис. 15.1). Он подключен к источнику синусоидального напряжения, амплитуда которого постоянна. Найдем зависимость тока в цепи и напряжений на элементах R, L, C от частоты. По второму закону Кирхгофа .

Согласно уравнениям элементов

, , ,

откуда ,

. (15.1)

Мы нашли комплекс тока. Попутно в знаменателе мы получили комплексное сопротивление двухполюсника , активное сопротивление двухполюсника и реактивное сопротивления двухполюсника .

Рис. 15.2.

Вычислив модули обеих частей уравнения 15.1, получим связь действующих значений напряжения и тока двухполюсника: . (15.2) В знаменателе формулы 15.2 находится полное сопротивление двухполюсника . График зависимости тока от частоты показан на рис. 15.2.

Фазовым резонансом двухполюсника называется такой режим, при котором ток и напряжение двухполюсника совпадают по фазе: . При этом реактивное сопротивление и реактивная проводимость двухполюсника равны нулю.

Резонансом напряжений двухполюсника называется режим, при котором максимально компенсируются напряжения элементов цепи. Полное сопротивление двухполюсника при этом минимально.

Резонансом токов двухполюсника называется режим, при котором максимально компенсируются токи элементов цепи. Полное сопротивление двухполюсника при этом максимально.

Для последовательного соединения резистора, катушки индуктивности и конденсатора фазовый резонанс совпадает с резонансом напряжений. Резонансная частота определяется по формуле

,

которая выводится из равенства нулю реактивного сопротивления: .

Зависимость действующих значений напряжений от частоты для последовательного соединения R, L, C показана на рис. 15.3. Выражения для вычисления этих напряжений получаются умножением действующего значения тока (формула 15.2) на полные сопротивления элементов: , , (см. п. 12).

Построим векторную диаграмму тока и напряжений (рис. 15.4, здесь показан случай U_L > U_C). Проще всего это сделать, если начальная фаза тока равна нулю: . Тогда вектор, изображающий комплекс тока, будет направлен под углом к действительной оси комплексной плоскости. Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, поэтому вектор, изображающий комплекс напряжения на резисторе, будет направлен в ту же сторону, что и вектор, изображающий комплекс тока.

Рис. 15.3.

Рис. 15.4.

Рис. 15.5.

Напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на угол , поэтому вектор, изображающий комплекс напряжения на катушке индуктивности, будет направлен под углом к вектору, изображающему комплекс тока. Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на угол , поэтому вектор, изображающий комплекс напряжения на конденсаторе, будет направлен под углом – к вектору, изображающему комплекс тока. Вектор, изображающий комплекс приложенного напряжения, будет равен сумме векторов, изображающих комплексы напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке. Длины всех векторов пропорциональны действующим значениям соответствующих величин. То есть, для того чтобы нарисовать векторы, нужно задать масштабы, например: в 1 сантиметре 20 вольт, в 1 сантиметре 5 ампер.

Векторная диаграмма для режима резонанса показана на рис. 15.5.

Вычислим отношение действующих значений напряжений на катушке индуктивности и на конденсаторе к действующему значению напряжения источника в режиме резонанса.

Учтем, что при резонансе напряжения на катушке и на конденсаторе полностью компенсируют друг друга (резонанс напряжений), и поэтому напряжение источника равно напряжению на резисторе: (рис. 15.5). Используем связь действующих значений тока и напряжения для резистора, катушки и конденсатора, а также формулу для резонансной частоты. Получим:

,

откуда .

Величину называют волновым сопротивлением колебательного контура и обозначают буквой r. Отношение обозначают буквой Q и называют добротностью колебательного контура. Она определяет усилительные свойства контура на резонансной частоте. У хороших контуров добротность может быть порядка нескольких сотен, то есть в режиме резонанса напряжение на катушке и конденсаторе может быть в сотни раз больше приложенного к двухполюснику.

Резонанс часто применяется в электротехнике и электронике для усиления синусоидальных напряжений и токов, а также для выделения колебаний определенных частот из сложных колебаний. Однако, нежелательный резонанс в информационных электрических цепях приводит к возникновению и усилению помех, а в силовых цепях может привести к появлению опасно больших напряжений и токов.