Методика обучения сравнению множеств путем установления соот­ветствия

Одной из главных задач в обучении детей второй младшей группы является освоение ими практических приемов взаимного сопоставления элементов одного множества с элементами другого, поэлементного" сравнения множеств конкретных предметов путем наложения одного на другое, а также поэлементного приложения одного множества к другому. Дети овладевают при этом умением определять численность множества и выражать ее с помощью слов, отражающих количественные отношения.

Формирование у детей представлений об отношениях «равенства» и«неравенства» начинается с обучения их умению определять равночислейность множества и отражать это в речи: столько, сколько; столько же, сколько и; поровну, одинаково по количеству. Затем дети овладевают умением выявлять неравночисленность множеств: больше, меньше; меньше, чем. В дальнейшем с целью закрепления знаний дети упражняются в установлении и опреде­лении равенства и неравенства в разнообразных игровых и бытовых условиях.

Вариативность упражнений- обеспечивает понимание детьми значения вопроса «сколько?». В ответе на вопрос должны быть представлены результаты сравнения двух групп предметов по ко­личеству входящих в них предметов: «столько же» или «больше, чем» («меньше, чем»).

Наиболее простым приемом сравнения является наложение. Для обучения детей этому приему установления соответствия используются карточки с нарисованными предметами, а впослед­ствии и с геометрическими фигурами в количестве 3—6 штук, а также игрушки. Изображенные предметы располагаются в ряд, Так как на данном этапе обучения иное расположение пред­метов затрудняет их адекватное воспроизведение. На изображения ставятся мелкие предметы (раздаточный материал) или накладыва­ются силуэты предметов.

Наглядный материал подбирается для занятий таким образом, чтобы дети видели необходимость сопоставления: угостить зайцев морковкой, посадить бабочек на цветы, надеть на кукол платья и т. д.

В ходе показа и объяснения приема наложения педагог обращает основное внимание на соотношение «один к одному», по­нимание смысла слов столько же, способ выполнения действия. Воспитатель берет предметы и, действуя правой рукой слева на­право, последовательно накладывает их на каждый из изображен­ных .элементов и т. д. Уточняет свое действие: «Я каждому зайчику даю по морковке. Я всех зайцев угостила морковками». После этого следует вопрос к детям: «Сколько же морковок я раздала зайцам?» На первых порах дети отвечают, как правило, «много», что соответствует уровню сформированных у них пред­ставлений. Поэтому педагогу следует уточнить еще раз поэлементное соответствие (каждый зайчик получил морковку) и предложить де­тям образец ответа: «Морковок столько же, сколько и зайцев», «Я раздала столько морковок, сколько зайцев».

В ходе подобных упражнений раздаточный материал подбирается в большем количестве, чем это требуется для воспроизведения. Предметы ставятся (накладываются) так, чтобы изображенное на карточках не закрывалось полностью. Это необходимо для усвоения смысла, сравнения, развития элементов самоконтроля.

При показе способа наложения следует обращать внимание детей на необходимость при выполнении задания соблюдать на­правление слева направо, раскладывать предметы правой рукой, одновременно придерживая карточку левой. Такой способ дей­ствий закрепляется в многократных самостоятельно выполняемых детьми действиях с раздаточным материалом.

За усвоением понятий «столько же», «столько, сколько» следует задать детям вопрос «по скольку...?». Ответ «поровну...» подчер­кивает обобщение предметов по количеству независимо от их ка­чественных и пространственных признаков. Воспитатель задает во­прос: «По скольку морковок и зайцев?» Уточняет ответ детей, ис­пользуя понятие «столько же». Подчеркнув соответствие,, поясняет значение слова «поровну»: «Морковок и зайцев поровну, морковок столько, сколько зайцев».

В тех случаях, когда дети хорошо усвоили прием наложения, они обычно быстро усваивают и прием приложения. Для обучения можно использовать карточки с двумя полосками, на ко­торых предметы изображены лишь на верхней полосе. Наложив предметы на изображения, отметив соответствие, педагог последо­вательно сдвигает вниз каждый из них, подкладывая под изобра­жение. Можно пользоваться специальными карточками, на которых нижняя полоса расчерчена на квадраты, что предупреждает ошибки.

Те же приемы (наложение и приложение) используются при ознакомлении детей с отношением неравенства: «больше, чем», «меньше, чем», причем сравниваемые множества отличаются толь­ко одним элементом. Для осмысленного понимания детьми несоответствия возможно использование в речи слов «не хватает» (на­пример, стула для куклы), «лишний». Это делает понятными для детей выражения типа «кукол больше (меньше), чем стульев» и дает возможность обосновать свои ответ.

При выполнении детьми практических действий возможны ошибки. Наиболее часто встречаются следующие: при наложении дети заполняют интервалы между нарисованными предметами, в ре­зультате отсутствует соответствие элементов; при приложении дети не видят интервалов между предметами, нарисованными на верх­ней "полоске карточки, и начинают раскладывать предметы на ниж­ней полоске тесно в ряд, по всей длине карточки.

Причины этих ошибок состоят в недостаточно развитом у де­тей количественном и пространственном анализе, слабой диффе-ренцировке составляющих множеств элементов, отсутствии прочных практических умений в установлении поэлементного соответствия. Еще одной, наиболее распространенной ошибкой является по­пытка раскладывать предметы обеими руками от середины полос­ки к концам. Это объясняется тем, что перестройка ранее сло­жившегося стереотипа в движениях рук и глаз происходит не

сразу.

Первичное чувственное представление о соответствии эле­ментов двух множеств и способах его установления формируется под влиянием обучения: показа практического действия в соче­тании со словом, выполнения его детьми. В дальнейшем дети могут выполнять задание лишь на основе словесной инструкции (взять столько же). Переход к выполнению задания по чисто словесной инструкции осуществляется постепенно.

Усвоение приемов наложения и приложения способствует тому, что внимание детей все более отвлекается от самих предметов и фиксируется на отношениях «равенства» и «неравенства».

Сравнение групп по численности сопровождается выявлением признаков предметов. От сравнения предметов одного вида (красные и синие квадраты) следует переходить к сравнению не только по предметному, но и пространственному признаку (верхняя и нижняя полоски, справа и слева).

В таких разнообразных упражнениях предметы одного вида могут быть представлены в разных количествах (поровну, больше, меньше), что способствует формированию у детей обобщенных представлений. От сравнения неравных множеств необходимо пе­реходить к сравнению равных и наоборот, предлагая детям само­стоятельно изменять количество элементов: «Убери лишний стул. Что теперь можно сказать о количестве стульев и кукол? Положи еще один квадрат. Больше или меньше теперь квадратов?»

Необходимо показать детям прием сравнения с помощью образо­вания пар.. Для этого воспитатель берет предметы (зайцы и мишки) . по одному и расставляет парами, затем спрашивает детей: «Как расставили игрушки? По скольку игрушек в паре? Кого больше или мишек и зайцев поровну? Как узнали это?»

В ходе выполнения упражнения педагог задает детям вопро­сы, требующие словесного выражения действия. Следит за согласо­ванием • слов, построением предложений в ответах детей. В про­цессе занятий допустимы хоровые ответы, индивидуальное обращение с вопросом к ребенку. При необходимости взрослый помогает ре­бенку в~ построении предложений: «По скольку яблок дали каж­дому мальчику? А сколько всего яблок раздали мальчикам? Каких игрушек больше? Всех ли кукол угостили конфетами? Каж­дый ли зайка получил морковку? Что можно сказать о количестве кругов и квадратов? Как вы раскладывали предметы (с конкрет­ным указанием названия)? Как ты будешь раскладывать? По скольку предметов будешь брать? Как узнать (проверить), поровну ли мишек и кукол? Может быть, кукол меньше, чем мишек? Как- уз­нать, хватит ли куклам мячей?»

Учитывая, что восприятие совокупности предметов у малень­ких детей тесно связано с их пространственным расположением, одной из задач обучения является дифференциация количественных и пространственных отношений, формирование представлений о неза--висимости количества от несущественных признаков. Равенство по численности дети должны научиться воспринимать независимо от формы, расположения предметов, занимаемой ими площади, исполь­зуя при этом различные приемы непосредственного сравнения.

С этой целью берутся две группы предметов, геометриче­ских фигур в небольших количествах (3—-5). Они располагаются линейно, один элемент под другим (мячи и матрешки). После сравнения педагог берет одну из совокупностей (мячи), расклады­вает их здесь же, на плоскости, придав им другую форму (по кругу, группой). Предлагает детям определить, изменилось ли коли­чество предметов или их по-прежнему столько же. В обобщении педагог подчеркивает неизменность количества мячей, так как ни­чего не добавлялось и не убиралось. На следующих заня­тиях воспитатель предлагает детям найти и показать столько же предметов (линейное расположение сравнивается с фигурным и наоборот). Используются предметы различного раз"мера, цвета. В равенстве совокупностей дети убеждаются путем приведения предметов, фигур во взаимно однозначное соответствие (наложе­ние, приложение, составление пар).

Это способствует формированию умения применять усвоенные ранее способы сравнения в новых для детей ситуациях. С этой целью необходимо использовать на занятиях съемный дидакти­ческий материал (фланелеграф, магнитную доску).

Овладение детьми умением сравнивать предметы поэлементно делает возмож­ным обучение самостоятельному воспроизведению их по образцу. Даются зада­ния: принести столько же карандашей, сколько кукол сидит за столом; на каждый звук положить перед собой предмет; прослушать звуки и положить столько • же предметов; поклониться каждому мишке; прослушать звуки и воспроизвести их в том же количестве. Дети на чувственной основе определяют количество звуков, движений в пределах 5 И вполне правильно воспроизводят их. Так уста­навливается взаимно однозначное соответствие между количеством игрушек и количеством производимых движений или звуков. Соотнося каждое движение, звук со зрительно воспринимаемыми предметами, дети учатся одновременно и обобщению множеств "по количеству. Воспитатель обращается к ребенку: «Ты постучал много раз, столько ' же, сколько здесь картинок». Или: «Ты постучал столько раз, сколько стрит петушков_;_ Покажи картинку, где столько предметов, сколько раз я постучала». Подобные упражнения подводят детей к пониманию того, что множества различны как по своему характеру, так и по численности.

Итак, в младшем дошкольном возрасте, в дочисловой период обучения дети овладевают практическими приемами сравнения (на­ложение, приложение, составление пар), в результате которых ос­мысливаются математические отношения: «больше», «меньше», «по­ровну». На этой основе формируется умение выделять качественные и количественные признаки множеств предметов, видеть общность и различия в предметах по выделенным признакам.

§ 2. Методика формирования количественных представлений в средней группе (пятый год жизни)

Сформированное в младшем дошкольном возрасте (2—4 года) умение анализировать множества предметов с точки зрения их чис­ленности, видеть последовательность и различия по качественным и количественным признакам, представление о равенстве и нера­венстве предметных групп, умение должным образом отвечать на вопрос «сколько?» (столько же, здесь больше, чем там) явля­ется основой овладения счетом.

В среднем дошкольном возрасте (пятый год жизни) в процес­се сравнения двух групп предметов, выделения их свойств, а так­же счета у детей формируется представление о числе, позволяющее дать точную количественную оценку совокупности. Они овла­девают приемами и правилами счета предметов, звуков, движении (в пределах 5).

Для формирования у детей представлений о натуральном ряде чисел (последовательности, месте числа) их знакомят с образо­ванием числа (в пределах 5) в процессе сравнения двух мно­жеств предметов и увеличения или уменьшения одного из них на единицу.

На протяжении всего этого периода обучения уделяется боль­шое внимание сравнению множеств предметов по количеству сос­тавляющих их элементов (как без счета, так и в сочетании со сче­том), уравниванию множеств, отличающихся одним элементом, установлению взаимосвязи отношений «больше — меньше» (если ми­шек меньше, то зайцев больше).

В средней группе дети, овладев умением считать предметы, звуки, движения, отвечать на вопрос «сколько?», учатся опре­делять порядок следования предметов (первый, последний, пятый), отвечать на вопрос «который?», т. е. практически пользовать­ся количественным и порядковым счетом.

В процессе обучения у детей формируется умение воспроизводить множества, отсчитывая предметы по образцу, по задан­ному числу из их большего количества, запоминать числа.

В ходе специальных упражнений по овладению счетом у детей формируется представление о числе как общем признаке разно­образных множеств (предметов, звуков). Они убеждаются в не­зависимости числа от несущественных" признаков (например, цвета, занимаемой площади, размеров предметов и др.), используют различные способы получения равных и неравных по количеству групп. Дети учатся видеть идентичность (тождественность), обоб­щать по числу предметы множеств (столько же, по четыре, пять, такое же количество, т. е. число).

Обучение детей среднего дошкольного возраста направлено на формирование представлений о первых пяти числах натурально­го ряда (порядке их следования, зависимости между смежными числами: больше, меньше), выработку умения пользоваться ими в различных бытовых и игровых ситуациях.

В процессе практических действий с множествами предметов счета и сравнения дети овладевают словами и выражениями: число, здесь столько же, тоже три, первый, пятый, последний, па­ра; разложил в ряд, подложил один предмет под другой, соста­вил пары, добавил один ..., убрал один..., стало меньше, сосчитал, отсчитал столько, сколько нарисовано... и др. При этом они уп­ражняются в построении простых и сложных предложений с союза­ми и, а, если, то, объяснении своих действий, умении задавать простые вопросы со словом сколько о количестве предметов в комнате, на картине. ,

В средней группе дети учатся выражать в речи не только результат своих действий, т. е. отвечать на вопрос «Что ты сде­лал?», но и способ выполнения действия. Сначала по вопро­сам педагога, а затем самостоятельно дошкольники отвечают на вопрос «Как ты выполнил задание?». Освоение содержания учеб­ного материала способствует осмыслению детьми выражений, упо­требляемых педагогом: «Сравни по количеству», «Какое из чисел больше?», «Если звуков столько же, сколько предметов, то сколько их?», «Равны по количеству», «Не равны». .

О степени понимания таких вопросов свидетельствует харак­тер и результативность практических действий, выполняемых детьми по заданиям педагога.

Содержание и методика обучения счету

В период дочислового обучения формируется чувственная ос­нова дальнейшего овладения счетом: расчлененное восприятие сово­купности, практическое установление поэлементного соответствия, общая количественная оценка, что стимулирует потребность в опре­делении некоторого количества предметов конкретным числом. Мно­гие дети еще до систематического обучения счету пользуются числами при определении небольших совокупностей (в пределах 2—4).

Одна из основных программных задач обучения детей пятого го­да жизни состоит в формировании у них умения считать, выработке соответствующих навыков и на этой основе развитии представ­ления о числе.

Счет ,как деятельность с конечными множествами включает следующие структурные компоненты: цель (выразить количество предметов числом), средства достижения (процесс счета, состоя­щий из ряда действий, отражающих степень освоения деятель­ности), результат (итоговое число).

Наибольшую сложность для детей представляет достижение ре­зультата счета, т. е. итог, обобщение. Выработка умения отвечать на вопрос «сколько?» словами много, мало, один, два, столько же, поровну, больше, чем... ускоряет процесс осмысления детьми зна­чения итогового числа при счете.

В ходе упражнений по обучению счету необходимо сформиро­вать у детей умение соотносить называемое по порядку число с одним из предметов, не пропускать предметы, числа и не назы­вать их повторно. Дошкольники должны усвоить, что последнее из названных при счете чисел дает ответ на вопрос о количестве предметов в пересчитываемой группе.

Формирующееся у детей представление о числе многопланово: число как показатель мощности множества, итог счета, по­рядок следования и место в общей последовательности чисел, количественное значение.

Обучение счету путем поэлементного сопоставления двух предметных множеств помогает подготовить детей к познанию отношений между числами.

С целью предупреждения ошибок у детей (пропуск чисел и предметов, повторение счетных действий в ответ на вопрос «сколь­ко?», использование слова раз и др.) довольно длительный пе­риод обучения счету делят на два этапа.

Цель первого этапа состоит в ознакомлении детей с назна­чением счета, обучении умению отвечать на вопрос «сколько?», называя при этом последнее при счете число. Счет предметов, предварительное сравнение их (1 и 2, 3 и 2, 3 и 4) осу­ществляет педагог, а дети, наблюдая процесс счета, отвечают на вопросы: «Сколько всего кукол? мишек? По скольку мишек и кукол? (Поровну, по три.) Чего больше (меньше)?»

В ходе таких упражнений педагог переводит детей от дочи­слового сравнения к сравнению с помощью чисел: «Кукол две, а мишек три. Кукол меньше, чем мишек. Число 2 меньше числа 3». Для закрепления материала достаточно провести четыре-пять таких упражнений на двух-трех занятиях.

Цель второго этапа обучения состоит в формировании у детей счетных умений, знакомстве с образованием каждого следую­щего числа на основе добавления предмета к одному из сравни­ваемых множеств.

Наглядный материал для обучения подбирается с учетом доступности выде­ления детьми качеств, признаков и свойств предметов. Сначала используются пред­меты, имеющие качественные различия (большие и маленькие, красные и зеленые _; яблоки), затем отличающиеся родовыми признаками (яблоки и груши). Это могут быть игрушки, объекты окружения, их изображения, модели геометрических фигур и т. д.

Упражнениям по обучению счету предшествуют анализ состава предметов, выделение общих признаков, способа расположения (как правило, по рядам). В процессе обучения счету постоянно варьируются задания, оценивается равное и неравное количество предметов (2 и 3, 3 и 3, 3 и 4 и т. д.)- При ознаком­лении со счетом для каждого нового числа показывается способ его получения. В ходе объяснения в сочетании с показом воспитатель знакомит детей с правилами счета: показывая рукой предметы, начиная от первого, т. е. расположенного слева, одновременно следует называть последовательно числа. После называния числа, со­ответствующего последнему в ряду предмету, важно акцентировать внимание детей с помощью кругового движения рукой и ответить на вопрос «сколько?». Числа называются четко, строго в порядке следования, а сами пересчитываемые предметы не называются. Называть предметы следует лишь при подведении итога счета («Всего 5 квадратов»). В самом начале обучения счету следует обращать внимание детей на необходимость соотнесения первого в ряду предмета с числом один, а не со словом раз, что имеет место в считалках, быту.

В ходе освоения счета у детей' возникают трудности в согласовании числительных с существительным в роде, числе, падеже (в процессе счета, при под­ведении итога). Эти ошибки закономерны. Исправлению их способствует использо­вание педагогом таких приемов, как пояснение, правильный подбор наглядного ма­териала, постоянное варьирование его на одном и том же занятии, внимание и контроль за счетной деятельностью детей. В случае ошибки полезно предложить ребенку наз­вать один из перечисленных предметов и выбрать нужное слово: один, одна или одно, а также подумать, как он скажет о двух предметах: два или две.

В начальный период обучения обращается внимание на выработку умений считать слева направо, брать предметы по одному правой рукой и раскладывать их слева направо. Это обстоятель­ство необходимо для дальнейшего обучения письму, чтению, хотя в определении количества особой роли не играет.

Обучение счету сопровождается беседами с детьми о назна­чении, применении счета в разных видах деятельности. Постепенно дошкольники переходят к пересчитыванию предметов быта, игру­шек. Воспитатель должен стремиться к тому, чтобы счет исполь­зовался детьми повсеместно и число наряду с количественными и пространственными признаками предметов помогало бы детям лучше ориентироваться в окружающей действительности.

В ходе знакомства детей с образованием каждого из чисел на­турального ряда в пределах 5 обращается их внимание на способ получения нового (большего) числа путем добавления одного предмета. Берутся две группы предметов (елки и грибы), сравниваются / (столько, сколько, поровну, по три, одинаково по количеству). I Затем добавляется один предмет (вырос еще один гриб), выясняется, ¹ чего больше или меньше (грибов больше, чем елок, елок меньше, ^: чем грибов). Что нужно сделать, чтобы узнать, сколько стало грибов? Демонстрируется способ счета в пределах 4. После этого обе совокупности вновь сравниваются. Подчеркивается, что елок оста­лось прежнее количество (3), а количество грибов увеличилось, их стало больше — 4, так как добавили еще один гриб¹.

Чтобы подготовить детей к усвоению общего принципа обра­зования любых чисел, следует упражнять их в получении меньше­го числа из большего. Педагог заостряет внимание ребят на способе получения числа: «Сколько было предметов? Сколько стало? Что нужно сделать, чтобы стало два вместо трех?» Обучение де­тей счету осуществляется в ходе выполнения действий по уве­личению и уменьшению пересчитываемых и сравниваемых множеств на один элемент.

Счет в пределах 5 усваивается детьми на трех-четырех заня­тиях. Вся последующая работа в средней группе способствует закреплению счетных умений формированию навыков й представ­лений о числах.

В средней группе дети овладевают порядковым счетом, т. е. умением определять место какого-либо предмета среди других при условии расположения их в ряд. Для этого необходимо научить­ся различать вопросы «сколько?», «который?», «какой по порядку?».

Пониманию и осмыслению детьми порядкового значения числа способствует расположение предметов в строго определенном по­рядке. Это может быть набор матрешек разных размеров, лесен­ка, составленная из кубиков, пластин, иллюстративный материал к сказкам «Три медведя», «Репка» и др. В этом случае необ­ходимость определения порядкового номера объекта мотивирована. Порядок следования (первый, второй...) выявляется с опорой на дополнительный признак: размер, цвет и др. Поэтому начальные упражнения по обучению детей порядковому счету следует прово­дить на наглядном материале, представляющем собой упорядочен­ный ряд, исходя из того что сериация по признаку качества является одной из предпосылок-формирования понятия о порядко­вом числительном, числе в целом. Для обучения создается опре­деленная ситуация: матрешки идут на прогулку, дети пошли в лес и т. д. Определяется порядковый номер и качественный признак (имя, рост, размер): «Первая девочка в красном платье, она самая высокая, вторая — в зеленом, она пониже» и т. д.

Формированию навыка счетной деятельности, обобщению пред­ставлений о числе способствуют упражнения в сосчитывании зву­ков, движений, предметов по осязанию. Сначала дети овладе­вают умением считать звуки, движения, производимые воспитателем с помощью игрушки. (Сколько раз квакнула лягушка, подпрыг­нул зайка?) Затем они считают звуки, движения, выполняемые ими самостоятельно, проговаривая числа вслух, а в дальнейшем шепотом и про себя, учатся запоминать числа.

Звуки и движения должны быть ритмичны, разнообразны, инте­ресны: удары в барабан, бубен, стук в дверь, проговаривание одного и того же слова, хлопки над головой, прыжки, подбрасы­вание мяча и др. Лучше, если источник звука скрыт от детей ширмой, дверью. Возможен счет на слух, с закрытыми глазами, что обостряет деятельность слухового анализатора.

В качестве подготовки детей к счету звуков и движений уместны упражнения в попарном соотнесении звуков или движе­ний с предметами, воспроизведение одного множества в другом (на каждый звук возьми предмет, положи перед собой столько же игрушек, сколько насчитал движений).

При счете движений, предметов по осязанию иногда имеет место неадекватное отражение их количества в числе. Дети, счи­тая одно движение, называют два числа (подъем рук вверх и опуска­ние их вниз), В ходе обучения необходимо пояснять, что название числа должно совпадать с определенным моментом осуществления движения, например при подбрасывании мяча, когда он находится вверху в полете.

Счет предметов по осязанию — интересное и развивающее упраж­нение. Вначале он носит игровой характер: взять, достать из «чудесного мешочка» определенное количество одинаковых мелких предметов, кубиков, матрешек. В дальнейшем дети считают предме­ты, зафиксированные неподвижно на плоскости (линейно распо­ложенные: грибы на подставке, пуговицы, нашитые на картон, и т. д.). Наглядный материал после предварительного рассматрива­ния закрывается салфеткой и пересчитывается, Правила счета те же: считать правой рукой, ведя ее по предметам слева направо, называя число в момент фиксации рукой предмета, левой рукой поддерживать карточку. Итоговое число называется сразу по окон­чании счета.

Наиболее сложным для детей средней группы является счет по осязанию, а в дальнейшем и отсчет мелких предметов, не за­фиксированных на плоскости, так как он связан с передвижением их слева направо, что исключает повторение счета. Числа произ­носятся, когда передвижение предмета уже закончено. Считаются предметы, а не движения руки. Задания, наглядный материал раз­нообразятся, показывается практическая необходимость счета.

В процессе занятия счет с включением деятельности различных анализаторов сочетается с отсчетом, воспроизведением различных совокупностей по образцу и заданному числу.

Отсчитывание определенной части множества осуществля­ется по тем же правилам, что и счет. По предложенному образцу (набор предметов, счетная карточка, числовая фигура) отсчитывается такое же количество предметов на основе зрительного врспри-ятия или по осязанию. Уточняется смысл слов сосчитал и отсчитал.

При сосчитывании определяется число элементов в множестве, а при отсчитывании из большего числа элементов берется опреде­ленная часть, тождественная образцу или названному числу. Дифференциация действий сосчитывания и отсчитывания ведет­ся по вопросам: «Что вы сделали: сосчитали или отсчитали? Как узнали, сколько предметов надо было отсчитать? Сколько предметов отсчитали?» (Столько же, сколько кругов на карточке, пять; столько же, сколько звуков услышал.)

По мере овладения отсчитыванием дети начинают им широко пользоваться при выполнении действий с раздаточным материалом, что ускоряет процесс выполнения заданий.

В средней группе продолжается работа по формированию представлений о неза­висимости числа предметов от их несущественных признаков: цвета, формы, размера, расстояния между ними, занимаемой площади, расположения их в пространстве. В ходе обучения сравниваются между собой равночисленные и неравночисленные множества по одному из указанных, а затем и по двум-трем признакам.

Множества предметов располагают в пространстве в зависи­мости от поставленной цели таким образом, чтобы была необходи­мость соотносить их, перекладывать, накладывать один на другой для доказательства равночисленности, а в дальнейшем — неравночисленности.

Так, в упражнениях на демонстрацию независимости количества предметов от занимаемой ими площади предметы одной совокупности раскладываются по горизонтали на близком расстоянии друг от друга, второй — на более далеком расстоянии (в зависимости от размеров доски, стола). Вначале выделяется общий признак предметов, входящих в каждую из совокупностей. Затем дети по заданию педагога находят отличительные признаки. Это может быть цвет, цвет и размер и т. д. Особо подчеркиваются различия в расстоянии между предметами, а отсюда и в занимаемой каждой совокупностью площади, т. е. в плотности и длине ряда. Количество несущественных признаков в подобных упражнениях нарастает в зависимости от степени усвоения учебного материала детьми. Первые упражнения следует проводить с использованием однородного материала, при этом подчеркивается, что различие между множествами лишь одно — занимаемая площадь. ^J

После противопоставления (одни предметы расположены близко один к другому, поэтому они занимают мало места, и наоборот) педагог предлагает детям найти способ определения равенства или неравенства по количеству предметов: «Как вы считаете, поровну их или нет? Как это доказать? (Вначале используются приемы на­ложения или приложения, затем сосчитывание.) В чем вы убеди­лись? (Одних столько же, сколько и других, по четыре.)»

Затем восстанавливается первоначальное расположение предме­тов: «Почему на первый взгляд кажется, что этих предметов (указывается) больше (меньше) по количеству?» Дети объясняют кажущееся неравенство различием в способе расположения, занима­емой ими площади.

При подведении итога педагог подчеркивает возможность подоб­ного расположения предметов, необходимость практического сопо­ставления их с целью определения равенства или неравенства, сосчитывания, независимость количества от способа расположения предметов в пространстве.

В ходе обучения необходимо использовать таблицы, карточки с различным расположением предметов. В этом случае дети исполь­зуют еще один опосредованный способ доказательства соответ­ствия или несоответствия: предметы — заместители объектов, экви­валенты.

Педагог подводит их к самостоятельному нахождению такого способа: «Мы не можем взять предметы и подложить один под другой. Как же, кроме сосчитывания, можно узнать, поровну их или нет?» В случае затруднения предлагает детям использовать эквиваленты. Нужно соотнести фишки с первым множеством и, убе­дившись в равенстве (взяли столько же, тоже четыре), проде­лать то же самое со вторым, используя тот же материал. Чтобы научить детей разным способам расположения одного и того же количества предметов, используется (наряду с другими пособиями) карточка, деленная на 2—4 части, на которой одно из , множеств зафиксировано. Необходимо, чтобы ребенок, определив количество элементов множества, самостоятельно разложил по-иному еще несколько равночисленных совокупностей и объяснил, как это делается.

Воспитанники средней группы вначале обобщают два множества по числу, а затем три и четыре множества. Постепенно услож­няется и наглядный материал: от обобщения по видовым призна­кам переходят к обобщению по родовым признакам. Одно, а за­тем и два из обобщаемых множеств могут быть представлены в звуках, движениях: «По скольку больших и маленьких мячей? По скольку игрушек и звуков? По скольку звуков, игрушек и кругов? Найди столько кругов и квадратов, сколько было движений».

Итак, в ходе многократных упражнений дети убеждаются, что подлежащие количественной оценке совокупности могут отличаться одна от другой (иметь сходство) по различным пространственно-ка­чественным показателям, что не влияет на число. Наиболее со­вершенный способ определения равенства или неравенства при этом — сосчитывание и определение общности (столько же, четы­ре) или различий (больше — меньше) по числу элементов. Подобные упражнения сочетаются с воспроизведением различных множеств, обобщением их по числу, определением различий. Обучение сравнению множеств

В средней группе детей обучают сравнивать множества, чтобы определить равенство или неравенство по числу. Дошкольники ос­ваивают практические способы уравнивания множеств. Они до­бавляют или удаляю? один из предметов, делая из неравных мно­жеств равные и т. п. Сравниваются множества, выраженные в смежных числах, что дает возможность вычленить количественные отношения между числами натурального ряда. Допустимы упражне­ния в сравнении Множеств с отличием в 2—3 элемента. В ходе занятий дочисловое сравнение с выделением отношений («больше — меньше», «поровну») сочетается с выражением результатов срав­нения в числах.

Воспитатель создает ситуацию, где требуется установить соответствие, увеличить или уменьшить множество на 1, устано­вить отношения. Он направляет практические действия детей, ведущие к рассуждению, объяснению правильности и необходи­мости выполнения действий.

Упражнениям придается, как правило, игровой характер. Кроме этого, целесообразны дидактические задания детям: отсчитать и от­ложить на карточке определенное количество предметов, убрать или добавить предмет и т. д.

С целью выражения в речи понятия равенства задаются во­просы: «По скольку предметов в первом и втором рядах? Что можно сказать о количестве тех и других? (Поровну, столько же, по четыре, одинаково по количеству.) Как мы узнали, что предме­тов поровну? (Приложили, сосчитали)». Необходимо постепенно подводить детей к пониманию того, что, если будет установлено взаимно однозначное соответствие двух множеств, число элементов одного из них можно назвать, не " сосчитывая их. Например: «У каждого из зайцев по барабану, зайцев пять. Сколько же барабанов? (Тоже пять, столько же.)» Или: «Если над каждым квадратом лежит кружок, то мы, сосчитав только квадраты, можем сказать, сколько кружков. Их будет столько же, сколько квадратов».

Подобные упражнения помогают детям сделать вывод о равен­стве при условии соответствия элементов («один к одному») и счета предметов лишь одного множества.

Необходимо приучать детей понимать взаимосвязь отношений «больше» и «меньше»: если в одном из множеств меньше элементов, то в другом обязательно будет больше, чем в первом, и наоборот (на один или несколько элементов). При анализе результатов сравнения дети пользуются словами больше, чем; меньше, чем. Ва­рианты детских ответов на вопросы педагога: «Что можно сказать о количестве тех и других? Каких предметов больше, каких мень­ше?» — могут быть различны: «Грибов больше, чем елок. Елок мень­ше, чем грибов. Грибов четыре, а елок три. Елок всего три, а грибов четыре. Три меньше, а четыре больше».

От сравнения множеств в числовом выражении осуществляется переход к сравнению чисел в конкретной практической ситуации: «Мы выяснили, что грибов больше, их четыре, а елок меньше, их три (при этом показываются предметы). Какое число больше (меньше): 3 или 4?» В обобщении педагог подчеркивает, что число 3 меньше, чем 4, а 4 больше, чем 3.

Дети используют различные способы выявления равночисленности и неравночисленности путем раскладывания предметов по гори­зонтальным и вертикальным рядам, наложения, составления пар, проведения линий (возможно, и условных) от одного предмета к другому. Практический способ выбирается; исходя из целесообразности применения его в конкретной ситуации. Детям можно предложить найти другие, еще неизвестные им способы сравнения. Элементы первого множества раскладываются сверху вниз (в стол­бик), а затем к ним справа и слева прикладываются эле­менты второго множества.

Широко применим в практике обучения прием составления пар: «Можно ли построить в пары мальчиков и девочек? Как мы это будем делать? Что узнаем, если все дети встанут парами? А если кто-то будет лишним, что узнаем при этом? Для чего нужно составить пары? Сколько детей в паре?» Можно располагать предметы парами по горизонтали, вертикали или вразброс (на плоскости доски, фланелеграфа).

Возможно соединение одного предмета с другим линией: ботинок и шнурок, лампочка и настольная лампа и т. д. Проведение линий от одного изображения к другому обнаруживает равенство или неравенство.

Итак, в средней группе под влиянием обучения формируется счетная деятельность, умение считать различные совокупности пред­метов в разных условиях и взаимосвязях. У детей вырабатывается понимание числа как количественной характеристики совокупно­сти, умение выделять число как общий признак, свойственный нескольким множествам (попарно эквивалентным независимо от природы их элементов). Дети постепенно овладевают умением срав­нивать множества по количеству образующих их элементов путем соотнесения их один к одному и по числу.

§ 3. Методика формировании количественных представлений в старшей группе {шестой год жизни)

Задачи и содержание работы, направленной на развитие количе­ственных представлений в старшей группе, определяются с учетом знаний и умений, усвоенных детьми в средней группе. К ним отно­сятся умения считать предметы, звуки, движения в пределах 5, сравнивать их, определять и практически устанавливать равен­ство и неравенство. Число воспринимается детьми при этом как итог счета, показатель определенного количества предметов, опозна­вательный и различительный признак ряда совокупностей.

В старшем дошкольном возрасте (шестой год жизни) коли­чественные представления в процессе обучения формируются под влиянием овладения счетной и измерительной деятельностью. Число выступает как результат счета, характеристика эквивалентных, равночисленных множеств, как результат измерения.

В старшей группе продолжается работа по формированию пред­ставлений о численности (количественная характеристика) мно­жеств, способах образования чисел, количественной оценке вели­чин путем измерения.

Дети осваивают приемы счета предметов, звуков, движений по осязанию в пределах 10, определяют количество условных ме­лок при измерении протяженных объектов, объемов жидкостей, масс сыпучих веществ.

В процессе применения педагогом разнообразных способов срав­нения предметных множеств дети учатся образовывать числа путем увеличения или уменьшения данного числа на единицу, уравнивать множества по числу предметов при условии количественных разли­чий между ними в 1, 2 и 3 элемента.

Как и в средней группе, дети отсчитывают количество пред­метов по названному числу или образцу (числовая фигура, кар­точка) или больше (меньше) на единицу, упражняются в обоб­щении по числу предметов ряда конкретных множеств, отличающихся пространственно-качественными признаками (форма, расположение, направление счета и др.) на основе восприятия различными ана­лизаторами.

' С целью подготовки детей к счету групп их обучают умению разбивать совокупности в 4, 6, 8, 9, 10 предметов на группы по 2, 3, 4, 5 предметов, определять количество групп и число отдельных предметов.

Дети знакомятся с количественным составом чисел из единиц в пределах 5 на конкретных предметах и в процессе измерения, что уточняет и конкретизирует представление о числе, единице, месте числа в натуральном ряду чисел.

В старшем дошкольном возрасте продолжается обучение детей различать количественное и порядковое значение числа, вырабаты­ваются умения применять количественный и порядковый счет в практической деятельности.

В ходе сравнения множеств и чисел дети знакомятся с циф­рами от 0 до 9. Учатся относить их к числам, различать, исполь­зовать в играх.

В старшей группе дети фактически могут уже делить целое (предмет, геометрическую фигуру) на 2 и 4 равные части, уста­навливают зависимости между частью и целым, частями целого; овладевают умением пользоваться в речи понятиями (словами), отражающими количественные отношения: поровну, столько же, одинаково по количеству, такое же число, не поровну, число, цифра, наложение, приложение, составление пар, часть, целое, половина, четверть и др.

Дети учатся правильно строить и использовать в речи про­стые и сложные предложения, краткие и точные выражения, объ­яснять полученный результат, отвечая на вопросы: «Что ты сде­лал? Что узнал? Как ты выполнил задание? Как ты будешь вы­полнять задание?» Усиливается внимание к осмыслению вопросов со словами сколько, который, адресованных товарищам, воспи­тателю.

В ходе обучения воспитатель в своей речи использует слова и выражения, смысл которых понятен детям: количество, сравни по количеству, отсчитай, по скольку, признак и т. д.