Лекция 13 Законы теплового излучения.

§13 - 1 Закон Кирхгофа.

Обычно тепловым излучением считают электромагнитные волны, длина волны кото­рых лежит в интервале от одного до нескольких десятков микрон (1 мкм = 10 ^{- 6} м). Эти волны, также как и свет, испускаются атомами в виде отдельных цугов, начальная фаза и поляриза­ция которых изменяются хаотически от одного элементарного акта испускания к другому. Поэтому тепловое излучение является некогерентным,и его закономерности ока-зываются спра­ведливыми для всего диапазона электромагнитных волн.

Опыт показывает, что тепловое излучение можно охарактеризовать некоторыми па-ра­метрами. Известно,например, что интенсивность излучения зависит от температуры. Дру-гим важным свойством излучения является его спектральный состав, т.е распределение ин-тенсивности по различным частотам. Наиболее общей величиной для характеристики теп-лового излучения может служить поток энергии.Количество энергии, приходящееся на еди- ничный интервал частот, которое испускает единица площади (1м²) нагретого тела назы­ваетсяизлучателыной способностью:

Е _n,Т = d Ф_изл / d n .

Одновременно вводится понятиепоглощательной способности А _n,Т , определяемой как отношение поглощенной энергии к падающей,т.е.А _n,Т = dФ_пог / dФ_пад .Тело, погло-щательная способность которого равна единице.называется абсолютно черным телом.

Между испускательной Е _n,Т и поглощательной А _n,Т способностями существует

Рис.60.Излучение в зам- кнутой полости.

опреде­ленная взаимосвязь. Для установления этой взаимосвязи рассмотрим некую замкнутую полость, вырезанную внутри изолированного от внешних воздейст­вий тела(см.рис.60). Каждый участок поверхности полости излуча­ет и поглощает лучистую энергию.Согласно законам термодина­мики через не-которое время внутри полости наступит равновесие – темпера-тура всех ее частей(и излучения тоже) станет одинаковой. Излучение, находящееся в тепловом равновесии с окружающи-

ми телами,называетсяравновесным.Опыт показывает, что в природе излучение всегда равновесно, т.е.его интенсивность и спектральный состав в точности соответствует темпе-ратуре излучившего его тела.

Существующий между различными участками поверхности тепловой баланс должен выпол­няться для всех каналов теплообмена, т.к. в противном случае можно бы было перекрыв лю­бой из них добиться нарушения равновесия,что противоречит законам термо-динамики.В частности.это значит.что равновесие выполняется для каждого частотного интервала. Выделим внутри полости некоторую площадку S, излучательная способность которой равна Е_n,Т, а поглощательная - А_n,Т , и пусть на эту площадку падает поток энергии dФ_пад.B интервале частот от n до n+ dn площадка излучает поток энергии dФ_изл = Е_n,Т Sdn и поглощает dФ_пог = А_n,ТdФ_пад.В равновесии dФ_изл = dФ_пад. Из этого следует: dФ_пад = dnS .

Заменим теперь площадку S участком поверхности абсолютно черного тела с излучатель-ной способностью e_n,Т .Равновесие от этого нарушится не должно, и поток падающей энер-гии должен сохранить свое значение: dФ_пад = e_n,Т S d n. Сравнивая это выражение с выраже-нием для падающего потока энергии на площадку S, получим:

т.е. отношение испускательной и поглощательной способностей остается постоянным для любого тела.. Другими словами, их отношение есть универсальная функция частоты и температуры.Это положение носит названиезакона Кирхгофа.

§ 13 - 2 Вывод выражения для излучательной способности.

Это выражение впервые было получено М.Планком, который, опираясь на известный ему экспериментальный материал, предположил, что энергия световой волны пропорцио­нальна не квадрату ее амплитуды, а частоте n, т.e. Е_св = hn , где h - коэффициент пропорцио­нальности, известный теперь как постоянная Планка ( h = 6,62× 10 ^-34 Дж сек.), причем про-цесс излучения происходит не непрерывно, а отдельными порциями - квантами. В связи с этим предположением энергия диполей также изменяется скачком от E₁ до Е₂. Однако мы при­ведем более простой вывод, принадлежащий А.Эйнштейну. Основная идея этого вывода сос­тоит в том, что кроме спонтанных актов излучения, происходящих с вероятностью А _{i k} существуют вынуженные элементарные акты излучения и поглощения под действием внеш-ней пе­риодической силы, вероятности которых В_{i k} или В_{k i} , в зависимости от направления перехода.

Рассмотрим систему, состоящую из большого числа (No) диполей, находящуюся в сос-тоя­нии равновесия с тепловым излучением, спектральная плотность энергии которого( т.е. излучательная способность) равна e_n,Т .

Обозначим энергию диполя до момента излучения через E₁, a энергию диполей после излуче­ния – E₂ ; число диполей в состояниях е₁ и Е₂ - через N₁и N₂ . Количество спонтанных пере­ходов из состояния с энергией е₁ в состояние с энергией Е₂ равно D = A₁₂ N₁ .B то же время под действием теплового излучения, характеризующегося излучательной способ-нос­тью e_n,Т происходят вынужденные переходы как из состояния 1 в состояние 2, так и обратно.Число этих переходов равно D = n₁В₁₂ e_n,Т , D = N₂ B₂₁e_n,Т .

В состоянии теплового равновесия число переходов из состояния I в состояние 2 дол­жно равняться числу переходов из состояния 2 в состояние l.Ha основании этого запишем D + D = D или А₁₂N₁ +n₁В₁₂ e_n,Т = N₂ B₂₁e_n,Т .

Отсюда находим e_n,Т :

e_n,Т = .

Для оценки отношения N₂ / n₁ используем представления классической статистики, позволяющей на основании распределения Больцмана вычислить число частиц с заданной энергией:

; , где N₀ -общее число частиц в системе. Отсюда

.

Тогда с учетом того, что, как показывает эксперимент,В₁₂ =В ₂₁ , получим

e_n,Т = .

В последнем выражении использовано пред­ставление Планка, что E₁ –E₂ = hn. Отношение A₁₂ / B₁₂ не может быть вычислено в нашем курсе. Строгий расчет показывает, что оно рав-но hn³ /с² , где с – скорость света. Поэтому выражение для излучательной способности при-обретает следующий вид:

e_n,Т = .

Рис.61 Зависимость излучатель- ной спосбности от частоты и температуры.

Графическая зависимость излучательной способности приведена на рис.61, где по оси частот отложена угло-вая частота w =2nn. § 13-3 Законы Стефана- Больцмана и Вина. Из рис.61 видно, что для каждой температуры излучательная способность имеет макси­мальное значение при определенной частоте излучения. Для определения этой частоты про­ведем исследова-ние на экстремум величины en,Т , предварительно проведя замену перемен-ной в целях сокращения записи. Введем новую переменную х: х = ; тогда n = ; n3 = и dn = dx . Теперь выражение для излучательной способности приобретает такой вид:

e_n,Т = .

Вычисляя первую производную и сокращая полученный результат на постоянную величи-ну, имеем:

= 0.

Из этого выражения видно, что оно равно нулю, если числитель дроби равен нулю, откуда для определения экстремального значения х получаем трансцендентное уравнение:

.

Можно показать,что это уравнение имеет решение (приближенное значение х _м =2,8214 ), для простоты обозначим его а',т.е. х _М = а', или hn_М / kT = а', откуда следуетзакон Вина:

n_М =аТ.

В этом выражении постоянная а является комбинацией других постоянных: а = a^’ , k / h .

Определим интегральную излучательную способность Ет (она называется энергети-ческой светимостью) как е_T = , или в обозначениях новой переменной:

E_T = .

Интеграл в этом выражении является табличным,его величина равна л⁴ / 15.0бозначая через s комбинацию постоянных получаем следующее выражение для энергети-ческой светимости: Е_Т = sТ⁴, которое известно как законСтефана-Больцмана.

Сравним теоретические выводы с практикой.Экспериментальные данные показывают, .что при комнатной температуре максимум излучения лежит в далекой инфракрасной об-ласти, излучение в видимой области практически отсутствует. При температуре, приближающейся к 1000 К, максимум по-прежнему в инфракрасной области, однако и из-лучение в видимой части спектра становится заметным ( см.рис.61). В силу того, что интен-сивность от длинных, красных волн, к коротким, фио-летовым, падает, наибольшая интен-сивность излучения при­ходится на красную часть спектра - это температура «красного каления». По мере роста температуры различие в интенсивностях падает, излучение приоб-ретает желтый, а затем бе­лый цвет. При температуре между 5000 и 6000° К максимум про-ходит через область спектра, к которой человеческий глаз наиболее чувствителен. Тем-пературе 5900 К отвечает темпера­тура поверхности Солнца, лучеиспускательная способ-ность которого близка к лучеиспус­кательной способности абсолютно черного тела. Такое излучение воспринимается глазом как белый, дневной свет. При более высоких темпера-турах максимум смещается в ультра­фиолетовую область, а интенсивность в фиолетово - голубой области становится большей, чем в красной. Излучение приобретает голубой отте-нок.