Закон Ома для электрической цепи переменного тока

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, катушки и конденсатора (рис. 8). Если к выводам этой электрической цепи приложить электрическое напряжение, изменяющееся по гармоническому закону с частотой ω и амплитудой U_m, то в цепи возникнут вынужденные колебания силы тока с той же частотой и амплитудой I_m.

Рис. 8

В любой момент времени сумма мгновенных значений напряжений на последовательно включенных элементах цепи равна мгновенному значению приложенного напряжения:

U = U_R + U_L + U_C.

В последовательно включенных элементах цепи изменения силы тока происходят одновременно, так как электромагнитные взаимодействия распространяются со скоростью света. Поэтому колебания силы тока во всех элементах последовательной цепи происходят по закону:

I = I_mcos ωt.

Колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, колебания напряжения, колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания силы тока на π/2, а колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на π/2 от колебаний силы тока. Поэтому:

U = U_Rmcos ωt + U_Lmcos (ωt + π/2) + U_Cm cos (ωt - π/2),

где U_Rm, U_Lm и U_Cm - амплитуды колебаний напряжения на резисторе, катушке и конденсаторе.

Амплитуду колебаний напряжения U найдем, воспользовавшись методом векторных диаграмм.

При построении векторной диаграммы необходимо учитывать, что колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, поэтому вектор, изображающий амплитуду напряжения U_Rm, совпадает по направлению с вектором, изображающим амплитуду силы тока I_m. Колебания напряжения на катушке опережают колебания силы тока по фазе на π/2, поэтому вектор U_Lm опережает вектор I_m на угол 90° (рис. 9). Колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на π/2 от колебаний силы тока, поэтому вектор U_Cm отстает от вектора I_m на угол 90°.

Рис. 9

Мгновенное значение напряжения во всей цепи равно сумме мгновенных напряжений U_R, U_C и U_L на отдельных элементах цепи, т. е. сумме векторов U_Rm , U_Cm и U_Lm .

Из рис. 9 видно, что амплитуда напряжений на всей цепи равна

U_m = √U²_Rm + (U_Lm – U_Cm)²,

или

U_m = √(I_mR)² + (I_mX_L – I_mX_C)² = I_m√R² + (X_L – X_C)² = I_m√R² + (Lω - 1/Cω)².

Отсюда

I_m = U_m/√R² + (Lω - 1/Cω)².

Введя обозначение для полного сопротивления цепи переменного тока

Z = √R² + (Lω - 1/Cω)²,

получим:

I_m = U_m/Z.

Это выражение называют законом Ома для цепи переменного тока.

Из векторной диаграммы, приведенной на рисунке 9, видно, что фаза колебаний полного напряжения равна ωt + φ. Поэтому мгновенное значение полного напряжения определяется формулой:

U = Umcos (ωt + φ.

Начальную фазу φ можно найти из векторной диаграммы:

cosφ = U_Rm/U_m = I_mR/I_m√R² + (Lω - 1/Cω)² = R/Z .

Величина cos φ играет важную роль при вычислении мощности в электрической цепи переменного тока.