Глава 7. Динамика малых колебаний

Теория малых колебаний может быть рассмотрена на основании энергетических соотношений. Рассмотрим одномерную механическую систему, находящуюся в стационарном поле консервативных сил. Очевидно, что в этом случае система обладает потенциальной энергией U, которая является функцией одной координаты Х: U=U(Х). Предположим, что зависимость потенциальной энергии от координаты имеет вид, представленный на рисунке 7.1.

Рис. 7.1. Зависимость U(X) типа "потенциальной ямы"

Поместим начало одномерной системы координат в точку, соответствующую минимуму потенциальной энергии U_МИН = U(0). Минимальное значение энергии можно положить равным нулю, т. к. потенциальная энергия, в общем случае, определена с точностью до произвольной постоянной.

Предположим, что материальная точка М совершила перемещение dХ из начала координат в положительном направлении оси Х. При этом ее потенциальная энергия стала равна U(X). Разложим функцию U(X) в ряд Маклорена в окрестности точки Х = 0 и пренебрежем малыми членами степени выше второй по dX:

Поскольку при Х=0 потенциальная энергия имеет минимум, то dU/dX = 0; кроме того, U(0) = 0, поэтому из (7.1) следует, что

,

где (d²U/dX²)_Х=0 = k>0, т. к. дифференцируемая функция имеет минимум в точке Х = 0.

Последнее соотношение позволяет найти силу, действующую на материальную точку М. В соответствии с (5.11):

,

поэтому проекция F на ось Х равна

.

Силу, пропорциональную смещению (подчиняющуюся) закону Гука (2.20), независимо от ее физической природы, называют упругой. Знак минус в предыдущих формулах означает, что проекция F_X отрицательна, т. е. она направлена к положению равновесия. Силу, обладающую такими двумя свойствами, называют возвращающей или восстанавливающей силой.

Заметим, что в выбранной системе координат (см. рис. 7.1) dX = X, поэтому в соответствии со вторым законом Ньютона

имеем уравнение движения материальной точки в потенциальной яме:

.

Несложно проверить подстановкой, что решением этого уравнения является функция вида

.

Это означает, (сравните с (1.33)), что движение материальной тачки носит колебательный характер, причем частота колебаний равна

.

Очевидно, что периодпружинного маятника равен

.

Запишем некоторые важные энергетические соотношения. Как следует из (7.2) потенциальная энергия колеблющегося тела может быть найдена по формуле, аналогичной формуле для потенциальной энергии деформированной пружины:

,

кинетическая – по известной формуле:

.

При отсутствии трения, или другой диссипативной силы, полная энергия Е колебательной системы остается постоянной:

.

Используя уравнение для смещения (1.33) в колебательном процессе, запишем выражения (7.3) и (7.4) для энергий следующим образом:

и .

Наконец, формулы для энергий U и Т можно представить в виде:

,

,

откуда следует, что потенциальная (и кинетическая) энергия совершает гармоническое колебание с удвоенной, по сравнению с циклической частотой колебаний, частотой 2w.

В общем случае движение системы принято описывать при помощи обобщенных координат, число которых соответствует числу степеней свободы системы.

Дополнения.

· Числостепеней свободы – число независимых координат, однозначно определяющих положение объекта в пространстве.

В одномерном случае, для описания движения материальной точки достаточно одной обобщенной координаты, роль которой может выполнять также обычная декартова координата Х. Обозначим обобщенную координату через q. Первую производную от обобщенной координаты q по времени t – dq/dt называют обобщенной скоростью.

Если полную энергию колебательной системы можно представить в виде

,

то циклическую частоту колебаний системы можно вычислять по формуле:

.