Представления чисел в машинной арифметике

Целые числа в математике и их аналоги в p-разрядных арифметиках тождественны (по количеству) в рамках их представления с этой разрядностью. При этом можно отметить основные отличия представления чисел в поле памяти человека и в поле памяти p-разрядной арифметики:

1. бесконечное и счетное множество целых чисел представляется отрезком [–N; +N], где N – максимальное число, представимое в этой арифметике (многоточие – общее число единиц, равное n): N = (111 . . . 1)₂ ;

2. бесконечное и несчетное множество действительных чисел , располагающееся на числовой оси равномерно и плотно, представляется в p-разрядной арифметике множеством с неравномерной плотностью (сгущение у нуля и сжатость со стороны меньших чисел);

3. нуль во множестве действительных чисел в любой своей окрестности имеет множество чисел, а нуль в n-разрядной арифметике представлен изолированно.

С точки зрения обычной арифметики, например, в интервале (–1; 1) имеется бесконечное множество "плотно" расположенных точек, причем в любой окрестности каждой такой точки имеется хотя бы одна точка из этого множества. Такую арифметику называют часто регулярной арифметикой. Машинная же арифметика имеет следующие особенности. Она нерегулярна – точки интервала сгущаются около нуля; кроме того, в этом интервале точка х "изолирована" – если взять любую ее окрестность (х – а; х + а), где а – число, которое не превосходит машинного нуля (наименьшего представимого в машине числа), то в этом интервале нет других точек (отличных от х).

Говоря языком теории вероятности, плотности распределения чисел в регулярной и нерегулярной арифметике – различны, как, впрочем, плотности распределения целых и вещественных чисел в одной и той же арифметике. Множество вещественных чисел в машинной арифметике представляется как подмножество (определяемое разрядностью арифметики) множества рациональных чисел. Есть и другие особенности этих множеств (связанные, например, с выполнением операций), но указанные выше особенности – основные.