Атом водорода.

В нерелятивистском приближении стационарные состояния атома определяются уравнением Шредингера для системы электронов, движущихся в кулоновском поле ядра и электрически взаимодействующих друг с другом.

В то же время единственным атомом, для которого уравнение Шредингера может быть решено точно, является простейший из всех атомов – атом водорода.

Задача о движении двух взаимодействующих частиц в квантовой механике аналогично тому, как это делалось в классической механике, сводится к решению задачи о движении одной частицы в поле центральных сил.

В центральном (или центрально-симметричном) поле потенциальная энергия взаимодействия зависит только от модуля разности координат взаимодействующих частиц.

Уравнение Шредингера движения частицы в центрально-симметричном поле имеет вид:

В атоме водорода электрон обладает потенциальной энергией

где координата электрона, отсчитываемая от центра поля, т.е. от ядра.

Можно несколько расширить класс рассматриваемых решений, если ввести в рассмотрение так называемый водородоподобный атом с зарядом ядра . Тогда уравнение Шредингера запишется в виде:

. (*)

Поскольку задача обладает сферической симметрией, то для её решения воспользуемся выражением для оператора Лапласа в сферических координатах:

Т.о., мы приходим к уравнению (*) относительно трех переменных: .

Попытаемся разделить переменные, представив волновую функцию (ищем решение уравнения (*))в виде:

, (**)

где ”радиальная” функция; сферические функции.

Произведя дифференцирование, получим

поделив на и домножив на , имеем

Очевидно, что функции, стоящие по обе стороны в первом равенстве, зависят от совершенно разных переменных, поэтому просто число. Т.о., приходим к двум независимым уравнениям.

Первое

и второе

. (****)

Заметим, что выражение

называется оператором Лежандра. Поэтому уравнение (****) можно записать как

Обратимся сначала к уравнению (****). Произведем теперь разделение угловых переменных, представив функцию как

После подстановки в (****) получаем

Поделив последнее уравнение на произведение и домножив на , получаем

. (*****)

Как и в предыдущем случае, очевидно, что число.

Начнем опять со второго равенства.

. (+)

Общее решение этого уравнения можно представить в виде линейной комбинации экспонент с комплексными фазами:

. (++)

Постоянная может быть определена, если учесть очевидное требование, которому должна удовлетворять функция :

. (+++)

Подставляя (++) в (+++), получаем

что, очевидно, может быть лишь когда

или

, (++++)

где

Т.о.,

Обратимся теперь к первому из уравнений (*****), преобразовав его с учетом (++++) к виду

Это, так называемое уравнение Лежандра, которое имеет непрерывное (т.е. нужное нам) решение только при

, причем . (5+)

Решением уравнения Лежандра являются присоединенные полиномы Лежандра, обозначаемые как .

Например,

; ; и т.д.

Обратимся, наконец, к радиальной части уравнения Шредингера, приняв во внимание (5+):

. (6+)

Это уравнение может быть приведено к виду:

где (см. рис.).

Можно показать, что частица, движущаяся в поле, характеризуемом потенциалом , имеет непрерывный

Спектр энергий при и дискретный, когда .

Введем новую переменную – безразмерную координату электрона

Теперь уравнение (6+) принимает вид:

или, умножив на

(7+)

и положив параметр равным

и обозначив

приводим уравнение (6+) к виду:

. (8+)

В математической физике показывается, что уравнение (8+) имеет конечное однозначное и непрерывное решение, причем

1. если первое слагаемое в квадратных скобках равно , то решение существует при произвольном положительном ( ). Поскольку , то энергия положительная и меняется непрерывно;

2. при значении решение существует только для целых , где . Тогда спектр значений параметра дискретный:

, соответственно ,

что полностью совпадает с результатом, полученным в теории Бора.

Очевидно, что для каждого будем иметь собственную функцию .

Понятно, что волновая функция электрона определяется произведением трех функций:

Целочисленные величины, определяющие волновую функцию электрона – квантовые числа – удовлетворяют следующим условиям:

главное квантовое число, определяющее энергию электрона в атоме (для водородоподобного

атома);

азимутальное квантовое число;

магнитное квантовое число.

Необходимо особо подчеркнуть, что квантовомеханическое описание атома позволяет совершенно иначе подойти к интерпретации понятия “орбита электрона”, введенного в теории Бора-Зоммерфельда, нежели это следует из полуклассических представлений.

Рассмотрим основное состояние атома водорода, которое определяется набором квантовых чисел: