Скорость и ускорение при криволинейном движении

Рассмотрим движение материальной точки М в системе координат ХYZ по произвольной криволинейной траектории (рис. 3.1).

Пусть за время Dt материальная точка переместится из положения в положение . При этом радиус-вектор изменится от до . Вектор называется перемещением материальной точки.

Средней скоростью движения за время Dt точки называют величину

. (3.1)

При неограниченном уменьшении промежутка времени Dt средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью:

. (3.2)

Мгновенная скорость равна производной перемещения по времени.

Длина , отсчитанная по траектории, есть путь, пройденный точкой за время Dt. В отличие от перемещения путь - скалярная величина. В процессе движения его значение увеличивается, независимо от направления вектора скорости.

Направление вектора мгновенной скорости в любой точке траектории совпадает с направлением касательной к ней в этой точке.

Из формул (3.1), (3.2) следует, что единица скорости - метр на секунду (м/с).

Если вектор скорости изменяется в процессе движения, то важно знать, как быстро меняется скорость с течением времени. Ускорением называют физическую величину, характеризующую быстроту изменения скорости как по модулю, так и по направлению.

Если за время Dt скорость материальной точки изменилась от до , т. е. на , то среднее ускорение определится выражением

. (3.3)

Переходя к пределу этого выражения при Δt ® 0, получим выражение для мгновенного ускорения

. (3.4)

Единица ускорения - метр на секунду в квадрате (м/с²).

Ускорение численно равно изменению скорости за одну секунду.

В общем случае происходит изменение скорости по модулю и по направлению. В соответствии с этим вводятся две составляющие вектора ускорения: тангенциальное и нормальное .

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории. Его числовое значение (модуль) определяется выражением .

Нормальное ускорение направлено перпендикулярно вектору скорости (т. е. по нормали) и его модуль определяется выражением , где R - радиус дуги окружности, совпадающей с участком траектории, по которому движется материальная точка. Вектор направлен по радиусу к центру окружности, отсюда другое его название - центростремительное ускорение.

Из сказанного следует, что ^ и полное ускорение движущейся точки

, (3.5)

или по модулю

. (3.6)

Воспользуемся формулами (3.2), (3.4) для получения так называемых кинематических уравнений, определяющих зависимость мгновенной скорости и координат от времени при равноускоренном движении ( ).

Из уравнения (3.4) получим

.

Для проекции вектора на ось ОХ находим

,

.

Значение постоянной интегрирования С находим из начальных условий: в момент времени скорость движения .

Получаем , и поэтому

. (3.7)

Из уравнения (3.2) выразим перемещение точки за время dt:

,

и его проекцию

.

Для нахождения координаты х точки в момент времени t проинтегрируем полученное выражение:

.

Постоянную интегрирования С найдем из начальных условий: при . С учетом этого получаем , и тогда

. (3.8)

Аналогично записываются уравнения для координат y и z:

,

.