Системы счисления. Системой счисления (СС) называют совокупность цифровых знаков и правил их записи, применяемую для однозначного изображения чисел
Системой счисления (СС) называют совокупность цифровых знаков и правил их записи, применяемую для однозначного изображения чисел. Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах счисления значение каждой цифры не зависит от ее позиции в числе. В настоящее время непозиционные системы счисления применяются редко и в основном для целей нумерации.
Непозиционной системой счисления является римская система. В ней применяются следующие цифры:
десятичные числа: 1 5 10 50 100 500 1000 и т. д.;
римские цифры: I V X L C D M и т. д.
Десятичное число 32 изображается в римской системе счисления так:
XXXII = X+X+X+I+I=32,
то есть несколько стоящих рядом одинаковых цифр суммируются. Если рядом стоят две разные цифры, то они могут либо суммироваться, либо вычитаться, например
ХХVI = X + X + V + I = 26 и IX = X – I = 9.
Арифметические действия с числами в непозиционных системах сложны.
В ЭВМ преимущественное применение получили позиционные системы счисления, в которых значение каждой цифры находится в строгой зависимости от ее позиции в числе.
Основанием системы счисления называют количество различных цифр, применяемых в данной позиционной системе счисления. Всем известна с детства десятичная система счисления, в которой применяется десять цифр.
Десятичная система счисления – не единственная позиционная система. Возможны позиционные системы счисления с любым основанием в виде целого числа. Примеры систем счисления приведены в таблице.
Особый интерес при изучении вычислительной техники представляют двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления (таблица 4.1).
Таблица 4.1
| Основание | Система счисления | Цифровые символы |
| двоичная | 0, 1 | |
| троичная | 0, 1, 2 | |
| четверичная | 0, 1, 2, 3 | |
| пятеричная | 0, 1, 2, 3, 4 | |
| восьмеричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | |
| десятичная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | |
| двенадцатиричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B | |
| шестнадцатеричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F |
В общем случае в позиционной системе счисления по некоторому основанию число
X=an–1 an–2… a1 a0 a–1 a–2 …a–m
можно считать обозначением полинома
X=an–1bn–1+ an–2bn–2+…+ a1b1+ a0b0+ a–1b–1…+a–m b–m.
 |
В этой общей форме ai – цифры, лежащие в диапазоне 0£ai<b; n и m – количество разрядов в целой и дробной частях числа соответственно; b – основание системы счисления; bi – разрядный вес i-й цифры.
Запись числа в b-ичной системе счисления называют b-ичным кодом числа. Двоичный, восьмеричный и шестнадцатеричный коды десятичного числа, например, 19,375 выглядят следующим образом:
19,375(10)=10011,011(2)=23,3(8)=13,6(16).
Десятичный индекс, сопровождающий число, указывает основание системы счисления. Индекс опускается, когда основание системы счисления известно из контекста.
В виде полиномов уже рассмотренное десятичное число 19,375 можно записать так:
19,375(10)=10011,011(2)=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20+0×2–1+1×2–2+1×2–3 =
=16+0+0+2+1+0+1/4+1/8.
19,375(10) =23,3(8)=2×81+3×80+3×8–1=16+3+3/8.
19,375(10) =13,6(16)=1×161+3×160+6×16–1=16+3+6/16.
Таблица 4.2 – Коды чисел в различных позиционных системах счисления
| Десятичные | Двоичные | Восьмеричные | Шестнадцатеричные |
| A B C D E F | |||
| 1A 1B 1C 1D | |||
| 1E 1F | |||
Числа, записанные в недесятичных системах счисления, следует произносить не так, как в десятичной системе. Например, восьмеричное число 23,3 рекомендуется читать так: "два–три–запятая–три" в отличие от привычного для нас чтения десятичного числа 23,3, а именно двадцать три целых и три десятых".
Для ЭВМ наилучшей системой счисления оказалась двоичная из-за простоты технической реализации, наибольшей помехоустойчивости кодирования цифр, минимума затрат оборудования, простоты арифметических действий, наибольшего быстродействия ивозможности применения формального математического аппарата для синтеза и анализа вычислительных устройств. Десятичная система счисления удобнее для человека с точки зрения удобства работы, но сильно проигрывает двоичной по остальным требованиям. Оценим, например, затраты оборудования для запоминания числа 5839 в десятичной системе. Нам потребуется четыре десятичных разряда по десять устойчивых состояний в каждом, то есть всего 40 устойчивых состояний. В двоичной системе счисления для этого же числа 5839, выраженного как 1 0110 1100 1111, достаточно иметь 13 разрядов на два устойчивых состояния в каждом – всего 26 устойчивых состояний, что примерно в 1,5 раза меньше.
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления в вычислительной технике имеют вспомогательное значение. Запись чисел в этих системах получается более компактной и удобной для человека, чем в двоичной системе.
В машинах первого и второго поколений наибольшее распространение получила восьмеричная система. Этому способствовало то, что в ней можно было пользоваться цифрами десятичной системы, не прибегая к каким-либо новым символам, что нельзя сделать при использовании шестнадцатеричной системы.
В машинах третьего и более поздних поколений вместо восьмеричной чаще стала использоваться шестнадцатеричная система, так как это унифицирует форматы числовой и командной информации и обеспечивает более короткие записи.
В ЭВМ третьего и более поздних поколений за основную единицу информации принят байт. Один байт равен 8 битам, то есть описывается восемью двоичными разрядами. В шестнадцатеричной системе для записи информации, содержащейся в одном байте, требуется 2 символа, а в восьмеричной – 3, причем старший разряд восьмеричного числа недоиспользуется.
Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 1028;