Оптимизация контура регулирования на модульный оптимум, объект которого содержит большую и малую инерционности

Дана передаточная функция объекта

,

где Т₀ – большая инерционность;

Т_m – малая инерционность (некомпенсированная постоянная, определяющая помехозащищенность);

k₀ – коэффициент усиления объекта.

Найдем передаточную функцию регулятора .

Если взять П-регулятор, то контур будет статическим, т.е. будет ошибка, стремящаяся к нулю. Для придания системе астатических свойств, а также для компенсации большой инерционности объекта подойдет ПИ-регулятор.

Передаточная функция ПИ-регулятора

,

где Т_из = Т₀.

Найдем k_р

;

W_пк(р) = W ^p(p);

W_oc(p) = 1;

k₀k_p = b₀ = a₀; T₀ = a₁; T₀T_m = a₂.

Из условия оптимизации на модульный оптимум 2a₀a₂ = a₁², находим

2k_pk₀T₀T_m = T₀²;

.

Тогда перепишется

.

Из полученного выражения видно, что характер переходных процессов в оптимизированной замкнутой системе будет определяться малой постоянной времени Т_m.

В соответствии с рисунком 5.2, на котором представлен переходный процесс в оптимизированной замкнутой системе, можно привести следующие цифры

s = 4,3% – перерегулирование;

t₁ = 4,7×T_m;

t₂ = 6,3×T_m;

t₃ = 8,4×T_m.

Этот переходный процесс не является предельным ни по быстродействию, ни по перерегулированию.

Оптимизация по этой процедуре носит название настройки на модульный оптимум (МО).

В общем виде передаточную функцию можно представить

;

;

b² – 4a ³ 0 – переходный процесс апериодический;

b² – 4a < 0 – переходный процесс колебательный.

;

,

где x – коэффициент демпфирования.

;

x ³ 1 – переходный процесс апериодический;

x < 1 – переходный процесс колебательный.

В нашем случае b = 2Т_m; a = 2Т_m²;

.

Настройка на МО является компромиссной. Быстродействие контура можно увеличить, но вместе с тем растет перерегулирование, аналогично перерегулирование можно уменьшить, но уменьшится и быстродействие (см. рисунок 5.3).

Рисунок 5.2 Рисунок 5.3

Настройка на модульный оптимум дает средние показатели по быстродействию и перерегулированию и легко технически реализуема.

Рисунок 5.4

ЛАЧХ разомкнутого контура оптимизированного на МО представлена на рисунке 5.4.

;

Т_из = Т₀.

Увеличение k_р приведет к увеличению быстродействия, но и к повышению колебательности.

ЛАЧХ разомкнутого контура с и представлены на рисунке 5.4.

Передаточная функция замкнутого контура

;

.

После оптимизации контура на МО контур будем представлять по упрощенному виду как апериодическое звено первого порядка (см. рисунок 5.5), а не колебательное.

Рисунок 5.5

Порядок оптимизации на МО по ЛАЧХ (см. рисунок 5.6):

Рисунок 5.6

Дана передаточная функция разомкнутого контура

,

где – передаточная функция регулятора;

– передаточная функция объекта.

Из нее находим передаточную функцию регулятора

.

При Т_из < Т₀ увеличивается площадь НЧ части характеристики, появляется участок с наклоном 40дб/дек в средней части ЛАЧХ (см. рисунок 5.7). Это приводит к увеличению быстродействия контура, но может вызвать неустойчивость в нем, если частота среза будет приходиться на участок 40дб/дек.

При Т_из > Т₀ площадь НЧ части ЛАЧХ уменьшается (см. рисунок 5.8), что должно уменьшить быстродействие.

Рисунок 5.7 Рисунок 5.8

Рисунок 5.9 – Диаграммы сигналов при различных настройках контура

Диаграммы сигналов при различных настройках контура представлены на рисунке 5.9.

При оптимизации следующих контуров регулирования внутренний контур будет представлен апериодическим звеном.

;

DХ(р) = W_ош (р)×Х_вх (р).