Общее условие устойчивости

Чтобы линейная импульсная система была устойчивой достаточно чтобы модули собственных значений матрицы А были меньше единицы.

Доказательство

Будем искать частные решения разностного уравнения для объекта

в виде .

- корень характеристического уравнения

- соответствующий этому корню собственный вектор

Общее решение тогда можно записать как линейную комбинацию частных решений:

Подставим частное решение в исходное разностное уравнение:

Получаем систему уравнений для нахождения неизвестного собственного вектора g_i

(*)

Обращаем внимание на то, что матрица в круглых скобках вырожденная, поэтому система вида (*) недоопределена, вектор g_i имеет бесконечное множество значений. Для нахождения любого из них произвольно зададим одну из компонент этого вектора.

Из системы исходных уравнений исключают зависимое уравнение, остальные компоненты вектора g_i находят по сформированной системе уравнений (n-1) порядка. Для нахождения неизвестных констант С_i используются начальные условия:

Это система из n уравнений для нахождения констант .