Истечение при переменном напоре

Рассмотрим истечение из резервуара через отверстие без поступление в него жидкости извне. Этот процесс будет нестационарным – глубина жидкости в резервуаре (напор) будет изменяться.

Поставим задачу - определить время, в течении которого уровень жидкости резервуаре изменится на заданную величину.

Если скорость изменения уровня мала, то возможность применить уравнение Бернулли для установившегося движения и использовать зависимость для расхода Q при истечении, полученную выше.

Обозначим переменную высоту уровня жидкости в сосуде, отсчитываемую от дна, через h, площадь сечения резервуара на этом уравне S(h), а площадь отверстия S_o, рис.2.1.

Рис 2.1.

За бесконечно малый интервал времени dt уровень в резервуаре понизится на величину dh и вытекший объём dw будет равен dw=S.dh. С другой стороны, через отверстие за время dt вытечет тот же самый объём dw, равный dw=Q.dt, где . (2.1) Таким образом S.dh=-Q.dt или

знак минус в (2.1) обусловлен тем, что положительному приращению dt соответствует отрицательное приращение dh (с увеличением времени уровень в резервуаре понижается).

Из (2.1) можно определить время изменения уровня от Н₁ до Н₂

Хотя коэффициент расхода μ может зависеть от скорости истечения (а следовательно от h), его приближённо принимают постоянным.

Входящий в (2.2) интеграл может быть в случае резервуара произвольного сечения подсчитан одним из способов приближённого интегрирования.

Если S=const, то интеграл в (2.2) может быть подсчитан аналитически

.

Время полного опорожнения резервуара (Н₂=0) равно .

Задача 2.1 Круглый призматический резервуар высотой Н заполнен доверху водой. При открытии в его дне отверстия диаметром d он опорожняется полностью за время t₀. Как изменится время t₀ при одновременном

a) Уменьшение высоты Н в 4 раза;

b) Уменьшение диаметра отверстия d в 2 раза.