Некоторые сведения о символическом методе расчёта цепей синусоидального тока

Символический метод основан на представлении токов и напряжений, а также сопротивлений, проводимостей и мощностей в виде комплексных чисел.

В отличие от действительных чисел, которые являются точками на числовой оси, комплексное число представляет собой более общее понятие числа и изображается точкой на числовой плоскости с прямоугольной системой координат +1, + j.

На рис. 13 комплексное число представлено в виде точки с координатами: a по оси вещественных +1 и b по оси мнимых +j величин. Комплексное число может быть представлено в виде =а+jb (алгебраическая форма записи), где a - вещественная (Re) часть числа, b - мнимая (Im) часть комплексного числа, то есть a=Re , b=Im . Мнимая единица j= , (j²=-1), (-j²=+1).

Отрезок c, измеряемый от начала координат до точки (см. рис. 13), называется модулем (mod) комплексного числа. Угол a, измеряемый между отрезком c и осью вещественных +1, называется аргументом (arg) комплексного числа, то есть c =mod , a = arctg = arg .

Кроме алгебраической, существует еще две равнозначные ей формы записи комплексного числа: тригонометрическая = c cosa + jc sina и показательная = с e ^j^a. На практике обычно используются две формы записи: алгебраическая и показательная.

Сложение и вычитание комплексных чисел удобнее производить в алгебраической форме записи, а умножение и деление - в показательной.

Множитель e ^j^a в показательной форме записи комплексного числа = c e ^j^a

называется оператором поворота вектора на угол a в положительном направлении (против часовой стрелки). В частности, умножив положительную полуось действительных величин +1 на оператор = cos +j sin =+j, получим новый вектор +j, то есть положительную полуось мнимых величин. Таким образом: +j – оператор поворота на 90⁰ против часовой стрелки, а -j - оператор поворота на 90⁰ по часовой стрелки (в отрицательном направлении).

Сопряжённым комплексным числом ^* (рис. 13) называется такое, которое отличается от исходного комплексного числа только знаком мнимой части (знаком аргумента в показательной форме записи).

Если комплексное число имеет вид = a+jb= c e ^j^a, то сопряжённое с ним число ^*= a-jb= c e ^-^j^a. Нетрудно убедиться, что произведение сопряжённых комплексных чисел есть вещественное число, равное квадрату модуля ^*= c²= a²+ b².

Поскольку синусоидальные токи и напряжения изображаются векторами, то, совместив начало каждого вектора с началом координат 0 комплексной плоскости, можно утверждать, что конец вектора (точка) является комплексным числом, а длина вектора (модуль комплексного числа) с учетом масштаба представляет собой величину соответствующего тока или напряжения.

Принято обозначать комплексы токов, напряжений и мощностей соответствующими буквами с точками наверху ( , , ). Комплексы сопротивлений и проводимостей, которые не являются гармоническими функциями времени, индексируют подчеркиванием внизу ( , ).

Рассмотрим переход от параметрического метода расчёта к символическому на примере закона Ома для цепи с последовательным соединением активного r, индуктивного x_L и ёмкостного x_C сопротивлений. Закон Ома в параметрическом методе записывается в виде: I= = , где z= - полное сопротивление цепи (гипотенуза треугольника сопротивлений), r и x=x_L - x_C – активное и реактивное сопротивления цепи (катеты треугольника сопротивлений). Угол j в треугольнике сопротивлений j = arctg - угол сдвига по фазе между током I и напряжением U на входе цепи.

Предположим, что цепь имеет индуктивный характер (x_L > x_C) и перенесём векторную диаграмму напряжения и тока в комплексную плоскость, совместив начала векторов с началом координат +1, +j. Очевидно концы векторов

(точки) представляют собой комплексы действующих значений напряжения и тока (рис. 14).

Умножив вектор тока на вещественное число (скаляр) z, получим вектор z, равный по длине вектору , но сонаправленный с вектором тока . Чтобы получить истинное положение вектора на диаграмме (рис. 14), необходимо умножить вектор z на оператор поворота e ^j^j на угол j в положительном направлении (против часовой стрелки). Таким образом можно записать:

=( z) e ^j^j= (z e ^j^j)= , где =z e ^j^j=z cosj +jzsinj =r +j(x_L - x_C)= r +jx_L --jx_C = r+jx – комплексное сопротивление цепи, r=z cosj =Re - активное, x=z sinj =Im - реактивное сопротивление цепи.

Очевидно выражение = - представляет собой закон Ома для последовательной цепи в комплексной форме.

По аналогии можно записать в комплексной форме законы Кирхгофа:

I закон: =0 – алгебраическая сумма комплексов токов в узле равна нулю;

II закон: = - алгебраическая сумма комплексов ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической сумме комплексов падений напряжения в ветвях, образующих этот контур.

Комплексная проводимость эквивалентной разветвлённой цепи:

= = = = = -j = g - jb = y e^-^j^j, где g= , b= , y= - активная, реактивная и полная проводимости.

Обратный эквивалентный переход:

= = = = = +j =r+jx= z e^j^j, где r= , x= , z= - активное, индуктивное и полное сопротивления. Следует обратить внимание, что при эквивалентных переходах от последовательной цепи к параллельной и наоборот знак реактивной составляющей изменяется на противоположный.

В символическом методе расчёта вводится понятие о комплексной мощности, которая представляет собой произведение комплекса напряжения на сопряжённый комплекс тока.

На рис. 15 приведена векторная диаграмма для цепи, рассмотренной ранее (рис. 14), и отличающейся тем, что на ней показаны начальные фазы напряжения y_U и тока y_I (диаграммы строятся для момента времени t=0).Очевидно y_U-y_I=j.

Комплексы векторов напряжения и тока в показательной форме имеют вид: =U ; =I .

Сопряжённый комплекс тока ^*=I .

Комплексная мощность (по определению)

= ^*=U I = U I e ^j^j=U I cosj +jU I sinj =P+jQ, где P=Re - активная мощность ,Q=Im - реактивная мощность.

Приложение 3

Перечень основных вопросов, предлагаемых при защите курсовой работы "Электрические цепи трёхфазного тока"

1. Трёхфазные цепи. Основные определения и термины. Простейший генератор трёхфазного тока. Соединение звездой и треугольником, соотношения между фазными и линейными напряжениями и токами.

2. Схема трёхфазной цепи соединённой звездой. Симметричная и несимметричная нагрузка. Напряжение смещения нейтрали. Роль нейтрального провода. Векторные диаграммы.

3. Схема соединения трёхфазного генератора и приёмника треугольником. Основные соотношения. Векторные диаграммы. Сравнение со схемой "звезда с нейтральным проводом".

4. Мощность в трёхфазной цепи. Формулы активной, реактивной и полной мощности симметричного приёмника. Мгновенная мощность симметричного приёмника. Измерение активной мощности.

5. Основы алгебры комплексных чисел. Закон Ома в комплексной форме. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость. Эквивалентный переход от последовательной цепи к параллельной и наоборот.

6. Законы Кирхгофа в комплексной форме. Комплексная мощность в цепи синусоидального тока.

7. Топографические векторные диаграммы в комплексной плоскости и принципы их построения.

Содержание

Оформление курсовой работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Краткие сведения из теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Задание на курсовую работу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Подготовка заданной цепи к расчёту символическим методом . . . . . . . 22

Расчёт цепи при соединении приёмника звездой . . . . . . . . . . . . . . . 25

Расчёт цепи при соединении приёмника треугольником . . . . . . . . . . . 30

Проверка баланса мощностей и сравнение результатов расчёта . . . . . . . 33

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Приложение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Приложение 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

<11 12 13 14 15 1617>

Дата добавления: 2015-08-01; просмотров: 1169;