Оценка устойчивости импульсной автоматической системы
Необходимым условием работоспособности импульсной системы является ее устойчивость. Известные из предыдущих бесед основные определения устойчивости непрерывных систем применимы и к импульсным системам, но с учетом ряда особенностей этих систем.
Обратимся к основной формулировке условия устойчивости : импульсная система устойчива, если ее собственное движение с течением времени затухает.
Как уже отмечалось, на практике часто ограничиваются определением дискретной функции Xвых(nT)на выходе системы. Это решение можно получить, например, из формулы (3.17) в виде суммы свободной и вынужденной составляющих:
Таким образом, условие устойчивости системы следует записать так:
Оценку устойчивости импульсной системы, как и непрерывной, обычно производят на основании исследования характеристического уравнения замкнутой системы, получаемого из формулы (3.16):
| |||
Это алгебраическое уравнение имеет т корней z, на плоскости z. Однако, поскольку переменная z появилась в связи с подстановкой ,то каждый корень Z\ связан с корнями р( на плоскости р зависимостью
Легко заметить, что нулевому корню, например p1 = О, соответствует корень Zi=1, а корням pi с отрицательными вещественными частями соответствуют корни : |Zi|<1 .
Теперь можно дать формулировку математического условия устойчивости:
· Импульсная автоматическая система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения (3.21) лежат внутри круга единичного радиуса, построенного в начале координат комплексной плоскости z (рис. 3.13), точки z1,z2,z3, z4, z5).
· Если хотя бы один из корней лежит на окружности с радиусом R = 1, то система находится на границе устойчивости (рис. 3.13, точка zб).
· При наличии корней |Zi| > 1 система неустойчива (рис. 3.13, точка z7).
Рис. 3.13. Комплексная плоскость Z
Определение корней характеристического уравнения (3.21) при т≥3 сопряжено с известными трудностями. Поэтому на практике находят применение косвенные оценки — критерии качества, позволяющие оценивать устойчивость импульсных систем без определения корней.
К импульсным системам применим любой из известных критериев устойчивости непрерывных систем. Однако для этого предварительно необходимо произвести билинейное преобразование полинома М (z) в полином М (ω) по формуле
|
Такое преобразование позволяет отобразить единичный круг плоскости Z (рис. 3.13) в левую часть комплексной плоскости р, аналогичную области устойчивости непрерывных систем на плоскости р.
К характеристическому уравнению M(ω) = 0, которое также имеет порядок т, применимы алгебраические критерии устойчивости И. А. Вышнеградского и Гурвица. Оценим устойчивость двух конкретных систем.
Пример 1. Импульсная система первого порядка имеет характеристическое уравнение
После подстановки (22) получим
или
Система первого порядка устойчива, если коэффициенты ее характеристического уравнения положительны:
Исследуем устойчивость импульсной системы с передаточной функцией (3.19).
Характеристические уравнения этой системы
Отсюда получаем два условия устойчивости:
Второе условие раскрывает важное свойство изучаемого класса систем: устойчивость импульсной системы зависит не только от общего коэффициента передачи в разомкнутом состоянии kv, как это имеет место и в непрерывных системах, но и от периода дискретности Т : чем больше Т, тем труднее обеспечить устойчивость системы, при неизменном kv.
Пример 2. Характеристическое уравнение импульсной системы второго порядка
После перехода к переменной СО получаем
Система устойчива, если коэффициенты ее характеристического уравнения положительны:
Эти три неравенства позволяют оценить устойчивость импульсной системы.
Исследование устойчивости систем третьего и более высоких порядков производят с помощью критерия Гурвица.
Контрольные вопросы
1. Как формулируется условие устойчивости импульсной системы ?
2. Какое математическое выражение служит исходным для оценки устойчивости импульсной системы ?
3. В чем заключается практический метод определения устойчивости импульсной системы ?
Дата добавления: 2015-07-30; просмотров: 581;