Метод суперпозиции

Рассмотрим метод суперпозиции (наложения) на схеме рис. 26.

;

В;

В;

Ом;

Ом;

Ом.

Суть метода в том, что каждый истинный ток равен алгебраической сумме токов частных режимов, рассчитанных от каждого из источников поочерёдно. То есть у каждого тока столько слагаемых, сколько в схеме источников.

Так, в схеме рис. 26 три источника , , . Поэтому у каждого из токов , , будет три слагаемых.

(78)

Здесь − входные проводимости схемы относительно разрыва в k-ой ветви;

− взаимные проводимости схемы между k-ой и n-ой ветвями.

На рис. 27 изображена схема первого частного режима, когда оставлена ЭДС , а источники и закорачиваются, если они идеальные. Если источники реальные, то на их месте включаются их внутренние сопротивления.

Рис. 27

Первый столбец в уравнении (78) и соответствует первому частному режиму рис. 27. По схеме рис. 27 можно найти входную проводимость схемы относительно разрыва в первой ветви , и взаимную проводимость между второй и первой ветвями и взаимную проводимость между третьей и первой ветвями .

Сначала найдём ток входной верви :

(79)

отсюда

, (80)

где − входное сопротивление схемы относительно разрыва в первой ветви.

.

Далее найдём токи и :

(81)

(82)

отсюда

(83)

(84)

и в общем случае

(85)

т.е. взаимная проводимость между k-ой и n-ой ветвями равна току в k-ой ветви, делённому на ЭДС , включенной в n-ой ветви.

Если в выражениях (79), (83), (84) взять равной одному вольту, то входная проводимость будет численно равна току первой ветви от ЭДС один вольт, включённой в ту же первую ветвь, а взаимные проводимости и будут численно равны соответственно токам второй и третьей ветвей от ЭДС один вольт, включенной в первую ветвь. Поэтому простейший способ нахождения входных и взаимных проводимостей − это в схеме частного режима найти токи во всех ветвях от ЭДС один вольт.

Так, в выражении (80) единицу в числителе можно считать за ЭДС один вольт.

Тогда

; (86)

. (87)

На рис. 28 изображена схема второго частного режима, когда оставлена ЭДС , а источники и закорочены, поскольку считаем их идеальными.

Рис. 28

Найдём входную проводимость и взаимные проводимости , и , считая, что ЭДС Е₂ равна одному вольту:

; (88)

; (89)

. (90)

На схеме рис. 29 изображена схема третьего частного режима, когда оставлена ЭДС Е₃, а источники Е₁ и Е₂ закорочены, поскольку считаем их идеальными.

Рис. 29

Найдём входную и взаимные и проводимости, считая, что ЭДС равна одному вольту:

; (91)

; (92)

. (93)

Очевидно, что , поэтому

; ; , хотя они и рассчитаны по разным схемам частных режимов.

Все входные и взаимные проводимости найдены. Теперь найдём токи в схеме рис. 26. Правило знаков в формулах (78) следующие: произведение ЭДС на проводимость берётся со знаком плюс, если направление тока частного режима совпадает с направлением тока в исходной схеме, и минус− если не совпадает.

Так, в схеме рис. 27 направления токов частного режима и совпадает с направлениями токов и в исходной схеме, поэтому и взяты со знаком плюс. А направление тока частного режима противоположно направлению тока в исходной схеме. Поэтому взято со знаком минус. Те же правила и для других частных режимов.

;

;

.

Проверим правильность расчёта с помощью баланса мощностей.

Сначала найдём мощность источников:

. (94)

Последнее слагаемое в выражении (94) взято со знаком минус, потому что направления ЭДС и тока противоположны.

Мощность приёмников:

. (95)

Как видно из расчёта, мощность источников энергии равна мощности приёмников , т.е. баланс мощностей выполняется и значит токи рассчитаны верно.

Если все ЭДС , , в схеме рис. 26 заданы и не меняются, т.е. требуется рассчитать схему только в одном режиме, то быстрее можно рассчитать токи, алгебраически сложив токи трёх частных режимов:

(96)

Если же требуется исследовать работу схемы рис. 26 в различных режимах, в которых ЭДС , , изменяется и по величине и по направлению, то необходимо пользоваться формулами (78) с использованием входных и взаимных проводимостей.

Всё дело в том, что входные и взаимные проводимости не зависят от величины и направления ЭДС в ветвях схемы, а зависят только от схемы соединения и величины резисторов. Поэтому один раз, определив все входные и взаимные проводимости, можно быстро рассчитать токи в любых режимах при любой величине и направлении ЭДС , , , записывая каждый раз для отдельного режима выражения, подобные выражениям (78), а также правильно учитывая знаки.