Законы Кирхгофа. Использование законов Кирхгофа для расчета электрических цепей

Электрические цепи делятся на неразветвленные и разветвленные цепи. Неразветвленные цепи представляют собой последовательно соединенные источники и приёмники электрической энергии. При этом источники электрической энергии могут иметь либо согласное включение (одинаковое направление), либо встречное включение (направление разное).

Разветвленными называются цепи, в которых источники и приемники электрической энергии соединены параллельно или имеют смешанное соединение. Такие цепи являются сложными, и для их расчета используются либо законы Кирхгофа, либо другие методы расчёта цепей постоянного тока.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю:

. (1.19)

На схеме рис.1.8 показано параллельное соединение трёх приемников электрической энергии, указано направление токов для узла ‘‘а’’.

Рис.1.8. Электрическая цепь с параллельным соединением приемников

Будем считать направление тока к узлу положительным, а от узла отрицательным. Тогда, используя выражение (1.19), для узла “а” напишем:

или .

Второй закон Кирхгофа: во всяком замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на резистивных элементах:

, (1.20)

где m - число резистивных элементов, n - число ЭДС в контуре.

При этом необходимо задаться направлением обхода контура, а также направлениями токов в ветвях контура и источников ЭДС.

На схеме рис.1.9. рассмотрим один из контуров сложной электрической цепи с указанным направлением обхода контура. По второму закону Кирхгофа запишем:

Рис.1.9. Пример схемы расчёта по второму закону Кирхгофа

Пусть электрическая цепь представлена в виде схемы (рис.1.10).

Рис.1.10. Электрическая цепь постоянного тока

При заданных значениях ЭДС и сопротивлений, необходимо составить количество уравнений, равное количеству ветвей в цепи. Из всего количества уравнений n-1 уравнений составляются по первому закону Кирхгофа, где n - количество узлов цепи. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа.

Для рассматриваемой цепи количество ветвей равно 5, количество узлов равно 3. По первому закону Кирхгофа составим два уравнения, по второму закону Кирхгофа составим три уравнения.

Произвольно выбираем положительные направления токов ветвей I1, I2, I3, I4, I5, а также направления обводов независимых контуров.

Для узлов “a” и “b” составим уравнения по первому закону Кирхгофа:

(1.21а)

Для независимых контуров составим уравнения по второму закону Кирхгофа:

(1.21б)

Решая систему линейных уравнений (1.21а) и (1.21б) с пятью неизвестными токами, определяем значения токов ветвей.

Целесообразно решать систему уравнений численными методами на ЭВМ с использованием матричной формы:

RI = E, (1.22)

где R - квадратная матрица 5х5 постоянных коэффициентов значений сопротивлений при токах цепи; E - вектор столбец постоянных коэффициентов значений ЭДС цепи.

При отсутствии тех или иных токов и ЭДС в каких либо уравнениях, задаются значениями «ноль» соответствующих элементов матриц. Решение системы (1.22) можно выполнить в компьютерной среде MATLAB:

I = R E, (1.23а)

где I - вектор столбец неизвестных токов ветвей, R - обратная квадратная матрица постоянных коэффициентов значений сопротивлений при токах цепи.

Систему (1.23а) представим в матричной форме:

(1.23б)

В среде MATLAB можно обратную матрицу R представить в виде инверсии матрицы R:

. (1.24)

Тогда выражение (1.23а) будет иметь вид:

, (1.25)

где E - вектор - cтолбец значений ЭДС цепи.

При вводе в компьютер исходных данных системы (1.23б) и выражения (1.25), получим численное решение неизвестных значений токов ветвей I1, I2, I3, I4, I5. При отрицательных значениях токов необходимо изменить их направления в ветвях.