Загальні відомості про геодезичні проекції.

На відміну від картографічних проекцій, при яких головна задача полягає в зображенні земної поверхні на папері (площині) в виді карт, геодезичні проекції дають методи точного перенесення елементів поверхні еліпсоїда (ліній, кутів) на площину, тобто між поверхнею еліпсоїда та площиною встановлюється такого роду відповідність, коли кожній точці поверхні еліпсоїда відповідає одна і тільки одна точка площини, причому при неперервному русі точки по поверхні еліпсоїда відповідна їй точка на площині переміщується теж неперервно.

Загальні формули цього роду відповідності між поверхнею еліпсоїда та площиною або загальні формули геодезичних проекцій можуть бути написані в наступному виді

(4.1)

де і - геодезичні координати, широта і довгота, що визначають положення точки на поверхні еліпсоїда, та - декартові (прямокутні) координати точки на площині, а і - довільні функції, неперервні в області ( - довгота, яка відрахована від деякого меридіана ( ), прийнятого за початковий).

Очевидно, що формули (4.1) є загальними формулами переходу від геодезичних координат до прямокутних плоских. На практиці до функцій і ставлять вимоги, щоб при будь-яких значеннях і в заданій області поверхні еліпсоїда мати цілком визначені як за знаком так і за величиною числа для та для .

Поверхня еліпсоїда не відноситься до числа тих поверхонь, які зображуються на площині без спотворень. Тому і проекція еліпсоїда на площину, що описується рівняннями (4.1) буде мати спотворення кутів та ліній. Існують проекції, що зберігають кути, але спотворюють довжини ліній і площі (фігури), проекції, що зберігають площі, але спотворюють довжини ліній і кути, і проекції, що спотворюють і довжини ліній, і кути, і площі. Розподіл спотворень залежить від виду функцій і . Величина спотворень визначається розмірами тієї області поверхні еліпсоїда , яка зображується на площині, причому в деяких випадках спотворення можуть бути і дуже значними. Поскільки мова йде про геодезичні проекції, то такі випадки не розглядаються.

Геодезичні побудови, як правило, створюються шляхом виміру кутів геометричних фігур, а лінійні виміри виконуються, наприклад, в тріангуляції тільки щоб задати масштаб мережі.

Якщо координати опорних геодезичних пунктів задані в проекції, то графічні матеріали знімань виходять теж в проекції і тільки їх числові дані в виді безпосередньо виміряних довжин сторін і кутів знімальних ходів треба виправляти за перехід до проекції. Викладеним і обгрунтовується умова: кути (при перенесенні їх з еліпсоїда на площину проекції) повинні зберігати свої величини, а враховуватись повинні лише спотворення довжин ліній.

Такі проекції, в яких відсутні кутові спотворення, називаються конформними (рівнокутними).

Неминучі спотворення фігур при переході з еліпсоїда на площину в будь-якій проекції будуть зростати із збільшенням розмірів частини поверхні еліпсоїда, що зображується на площині. В геодезичних роботах, що проводяться переважно на значних територіях і з високою точністю, виникає необхідність враховувати ці спотворення.

Відсутність кутових спотворень не є головною перевагою конформних проекцій перед неконформними, адже геодезичні лінії еліпсоїда, що зображуються на площині, мають вигляд кривих, які в практиці геодезичних робіт використати досить трудно. Тому зображення геодезичної лінії на площині замінюють прямою лінією - хордою, яка з’єднує кінцеві точки цього зображення. Звідси виникає додаткова задача в конформних проекціях - визначення кута між зображенням геодезичної лінії та хорди, який називають поправкою за кривину зображення геодезичної лінії на площині.

Границя відношення довжини відрізка на площині до довжини відповідного йому відрізка на еліпсоїді, коли довжина останнього стрімко наближається до нуля, називається масштабом зображення. Його можна визначити як відношення нескінчено малого переміщення точки на еліпсоїді до відповідного переміщення точки на площині (див. рис. 4.1):

(4.2)

Рис.4.1

Масштаб , в загальному випадку, буде величиною, яка змінюється як при переході від однієї точки до другої, так і при зміні напряму в одній і тій же точці. Іншими словами, в загальному випадку масштаб буде функцією положення точки, тобто її координат і азимута. Поскільки в конформних проекціях зберігаються подібність нескінченно малих фігур, то масштаб є постійним в нескінченно малій області навколо точки. Це означає, що в конформних проекціях масштаб зображення в кожній даній точці не залежить від напряму лінійного елемента.

Із загального числа конформних проекцій ми розглянемо детально тільки проекцію Гаусса-Крюгера, яка найбільш широко використовується в практиці геодезичних і топографічних робіт багатьох країн.

Проекція Гаусса-Крюгера, яка отримала широке розповсюдження на початку 20-х років ХХ ст., була розроблена і впроваджена в практику Гауссом ще в 1820-30 р.р. при зніманні території ганноверського герцогства. Проте Гаусс цю свою роботу не опублікував; лише в 1866 р. теорію проекції Гаусса опублікував Шрейбер. В 1912 і 1919 р.р. австрійський геодезист Крюгер дав детальний виклад теорії проекції Гаусса з розробкою робочих формул. До речі, тодішня Австро-Угорщина була першою країною, яка запровадила проекцію Гаусса, і яку пізніше стали називати проекцією Гаусса-Крюгера.

Універсальна поперечна проекція Меркатора UTM (Universal Transverse Mercator projection), яка має застосування, головним чином, в західних (англомовних) країнах, особливо в США - просто інша версія проекції Гаусса-Крюгера; відрізняється від неї практично лише тим, що масштаб зображення вздовж осьового меридіана приймають рівним не одиниці, а 0.9996.