Механика (№№ 101-170)

Пример 1. Эскалатор поднимает идущего по нему вверх человека за t₁=1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он поднимется за t₂=45 с. Сколько времени будет подниматься человек, стоящий на эскалаторе?

Решение. Пусть искомое время равно t; расстояние, которое человек проезжает на эскалаторе, равно s, а скорость движения эскалатора равна v. При равномерном движении эти величины связаны соотношением

. (1)

Аналогичные соотношения могут быть записаны для t₁ и t₂:

, (2)

. (3)

Скорости v₁ и v₂ можно найти следующим образом:

v₁ = v + v_о, (4)

v₂ = v + 2v_о, (5)

где v₀ - скорость движения человека относительно эскалатора в случае, когда время подъема равно t₁.

Подставляя соотношения (4) и (5) в формулы (2) и (3), получим

, (6)

. (7)

Перепишем соотношения (6) и (7) в виде

,

.

Введем обозначение x = v_о/s. Тогда с учетом соотношения (1) получим систему уравнений

Почленное вычитание уравнения (8) из уравнения (9) дает

Подставляя x в уравнение (8), получим

^.

После преобразований получим выражение

^.

Выразив t₁ в секундах, находим

^{= 90 с.}

Пример 2. Скорость тела, движущегося прямолинейно, меняется по закону v = At + Bt³, где A = 1 м/с²; B = 3 м/с⁴.

Чему будет равно ускорение тела к моменту времени, когда оно пройдет расстояние s = 14 м?

Решение. Ускорение есть производная от скорости по времени:

. (1)

Время t находим, используя соотношение

. (2)

Введем обозначение z = t² и, используя исходные данные, запишем соотношение (2) в виде

^.

После преобразований получим уравнение

3z² + 2z - 56 = 0. (3)

Решение уравнения (3) дает

= 4 с²,

= -4,7 с².

Значение z₂ должно быть отброшено, так как в соответствии с введенным обозначением z > 0. Подставляя z = 4 с² в уравнение (1), находим

= 37 м/с².

Пример 3. Траектория движения материальной точки задается уравнениями: x = At²; y = Bt, где A = 4 м/с²; B = 2 м/с. Радиус кривизны траектории через промежуток времени t = 1 с после начала движения равен R = 17 м. Определить полное ускорение точки в этот момент времени. Построить траекторию движения за первые две секунды.

Решение. Уравнение траектории задано в параметрическом виде:

x = At², (1)

y = Bt. (2)

Чтобы получить уравнение траектории в явном виде, исключим время из уравнений (1) и (2):

.

Полученное выражение представляет собой уравнение верхней ветви параболы, ось которой направлена вдоль оси x. Для построения траектории найдем по уравнениям (1) и (2) значения x и y в моменты времени, взятые с интервалом 0,5 с:

Траектория движения точки представлена на рис. 1.

Рис. 1

Полное ускорение определяется по формуле

, (3)

где и - тангенциальное и нормальное ускорения соответственно. Эти ускорения находим по формулам

, (4)

, (5)

где v - модуль вектора скорости точки, определяемый по формуле

. (6)

В свою очередь, v_x и v_y - проекции вектора скорости на оси x и y - вычисляются по формулам

, (7)

(8)

Подставляя уравнения (7) и (8) в (6), получим

, (9)

а затем в соответствии с формулой (4) находим

(10)

Вычисления по формуле (9) дают значение модуля скорости, равное v = 8,25 м/с, что после подстановки в уравнение (5) позволяет определить нормальное ускорение:

= 4 м/с². (11)

Подставляя результаты вычислений по формулам (10) и (11) в выражение (4), находим полное ускорение:

= 8,73 м/с².

Пример 4. Шайба лежит на платформе, вращающейся вокруг вертикальной оси. Расстояние от шайбы до оси вращения равно R = 2 м. При частоте вращения n = 9 об/мин шайба начинает скользить по платформе. Определить коэффициент трения шайбы о платформу.

Решение. На шайбу действуют три силы (рис. 2): сила тяжести , сила нормальной реакции опоры и сила трения .

Рис.2

Запишем уравнение движения шайбы (второй закон Ньютона) сначала в векторной форме:

,

затем в проекциях на оси Ox:

(1)

и Oy:

. (2)

Оставаясь неподвижной относительно платформы, шайба вместе с тем движется с ускорением, которое является центростремительным и определяется по формуле

, (3)

где v - линейная скорость шайбы.

Модуль силы трения вычисляется по формуле

, (4)

где m - коэффициент трения.

Перепишем формулу (4) с учетом уравнения (2):

, (5)

а уравнение (1) - с учетом формул (3) и (5):

. (6)

Линейная скорость связана с частотой вращения соотношением

. (7)

Подставляя уравнение (7) в формулу (6), имеем

.

После преобразований и подстановки исходных данных в системе СИ получим

0,18.

Пример 5. Конькобежец массой m₁, стоя на льду, толкает в горизонтальном направлении камень массой m₂ = 5 кг и откатывается назад со скоростью u₁= 0,3 м/с относительно земли. Коэффициент трения камня о лед равен m =0,06; расстояние, на которое переместился камень, равно s = 15 м. Определить массу конькобежца.

Решение. Конькобежец и камень (рис. 3) составляют замкнутую систему, для которой выполняется закон сохранения импульса

(1)

Левая часть уравнения (1) представляет собой импульс системы "конькобежец - камень" до толчка, когда камень и конькобежец покоились; правая — после толчка.

Рис. 3

Запишем уравнение (1) в проекциях на горизонтальную ось:

0 = - m₁u₁ + m₂u₂

и получим выражение для модуля скорости камня после броска

(2)

При движении камня по льду на него действуют три силы: сила тяжести , сила нормальной реакции опоры и сила трения . Первые две силы перпендикулярны к направлению движения и работы не совершают, поэтому работа всех сил будет равна работе силы трения:

.

Изменение кинетической энергии камня в процессе торможения после броска составит

.

Используя теорему о кинетической энергии, получим

. (3)

Переписав формулу (3) с учетом выражения (2):

,

получим выражение для расчета искомой величины

.

После подстановки исходных данных имеем

= 70 кг.

Пример 6. Нерастяжимая тонкая гибкая нить одним концом закреплена, как показано на рис.4, затем перекинута через невесомый подвижный блок и через неподвижный блок в виде сплошного диска массой m = 6 кг. К подвижному блоку подвешен груз массой m₁ = 5 кг, ко второму концу нити подвешен груз массой m₂ = 10 кг.

Определить: 1) скорости поступательного движения грузов v₁ и v₂ , когда они, будучи предоставленными самим себе, придут в движение и правый груз опустится на высоту h = 3,5 м; 2) ускорения a₁ и a₂ , с которыми будут двигаться грузы; 3) силы натяжения нити. Трением, массой нити и массой подвижного блока можно пренебречь.

Рис. 4

Рис. 5

Решение. На тела системы действуют консервативные силы тяжести и упругости, поэтому выполняется закон сохранения механической энергии:

, (1)

где w - угловая скорость неподвижного блока;

J - момент инерции неподвижного блока.

Очевидно, что

. (2)

Скорость поступательного движения правого груза совпадает с линейной скоростью точек, лежащих на ободе неподвижного блока, поэтому

, (3)

где R - радиус неподвижного блока.

Момент инерции блока в виде сплошного диска определяется по формуле

. (4)

Перепишем уравнение (1) с учетом формул (2)-(4):

.

После преобразований получим

. (5)

Подставляя исходные данные в формулу (5), найдем скорость v₂:

= 6 м/с,

а затем по формуле (2) вычислим v₁:

= 3 м/с.

Ускорение второго груза найдем по формуле

= 5,14 м/с². (6)

Очевидно, что ускорение первого груза будет вдвое меньше:

= 2,57 м/с². (7)

Рассмотрим силы, действующие на тела системы (рис. 5). На первый груз действуют силы натяжения нити и , а также сила тяжести . На второй груз действует сила тяжести и сила натяжения нити .

Направим ось y вертикально вверх и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось.

Для первого груза

, (8)

для второго груза

. (9)

Момент сил и относительно оси подвижного блока равен нулю, так как блок невесомый. Из этого следует, что и уравнение (8) может быть переписано в виде

.

Найдем Т₁ с учетом формулы (7):

= 30,9 Н. (10)

Выразим T₂ из уравнения (9) и найдем с учетом (6):

= 46,6 H. (11)

Под действием сил и неподвижный блок будет вращаться по часовой стрелке с угловым ускорением e. Согласно основному закону динамики вращательного движения

T'R - TR = Je . (12)

Угловое ускорение e связано с ускорением второго груза а₂ и радиусом неподвижного блока R соотношением

. (13)

Подстановка формул (4) и (13) в выражение (12) приводит после сокращения на R к уравнению

.

Это уравнение нужно лишь для проверки правильности ранее найденных значений Т₁ и Т₂, так как согласно третьему закону Ньютона с учетом невесомости нити имеем

T'= Т₂ = 46,6 Н,

Т = Т₁ = 30,9 Н.

Пример 7. Горизонтальная платформа в виде сплошного диска массой m₁ = 200 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, с частотой n = 8,5 об/мин. Человек массой m₂ стоит при этом в центре платформы. Когда человек перешел на край платформы, она стала вращаться с частотой n’ = 5 об/мин. Найти массу человека, считая его материальной точкой.

Решение. Человек и платформа представляют собой замкнутую систему тел, вращающихся вокруг одной и той же неподвижной оси. Для такой системы справедлив закон сохранения момента импульса

, (1)

где J₁ и — моменты инерции платформы до и после перехода человека соответственно;

J₂ и — моменты инерции человека до и после перехода соответственно;

w — угловая скорость платформы и человека до перехода;

w’ — угловая скорость платформы и человека после перехода.

Угловые скорости связаны с частотой вращения соотношениями

, (2)

(3)

Момент инерции платформы (сплошного диска) определяется по формуле

, (4)

где R - радиус платформы.

Очевидно, что J₁ = Момент инерции человека (материальной точки), находящегося на краю платформы, определяется по формуле

(5)

Момент инерции человека, стоящего в центре платформы, равен J₂ = 0. C учетом этого, а также принимая во внимание формулы (2)-(5), перепишем уравнение (1) в виде

.

После сокращений на общие множители и перегруппировки членов получим

. (6)

Подстановка исходных данных в формулу (6) дает

70 кг.