Определение 4: Полное линейное нормированное пространство называется банаховым.

Пример банахова пространства пространство - пространство действительных чисел.

Введем еще одно определение, которое будет использоваться в дальнейшем.

Определение 5: Совокупность всех функций , для которых функция интегрируема на области G обозначается .

На этом множестве можно ввести скалярное произведение и норму по формулам:

(2)

( - функция, комплексно сопряженная)

(3)

Свойства:

1. ;

2. ;

Т.о. становится линейным нормированным пространством

- линейное пространство второго порядка, т.к. - интегрируемость с квадратом.

Определение 6: Функция из называется нормированной, если . (4)

Определение7: Функция и g из называются ортогональными, если . (5)

Пример:

Система тригонометрических функций: ½, cosx, sinx, cos2x, sin2x, cos3x, sin3x ортогональна на отрезке [0; 2π]: т.е интеграл на отрезке [0; 2π] от произведения двух разных функций этой системы равен 0.

Это вытекает из равенства:

Если k<l, k-l = -p, то sin(-p)=-sin(p) , тогда имеем

sin(-2πp)=0 (где р-целое число)

Если k>l, k+l=q то sin2πq=0, (где q-целое число).

Т.е. имеем

Если l-k>0, l-k=p, l+k=q.

Определение 8: Система функции из , называется ортонормальной в ,если (φ_k,φ_i)=σ_ki , где σ_ki-символ Кронекера

(6)

Напомним, что всякая ортонормальная система функций состоит из линейно независимых функций, т.е из того что:

, где α_k - числа, откуда следует, что α_k=0.

Найдем норму функций для этого тригонометрического ряда:

, нормированная система.

Рассмотрим более детально:

Получили:

система система

Если Т=2π, то имеем

и т.д.

Умножая тригонометрические функции на надлежащие множители можно получить ортонормальную систему.

Примером ортонормальной системы в также является следующая тригонометрическая система:

(8)

(8)- комплексный ряд. Периодичность [0;2π]

Т.е. система функций ортогональна.

При переходе к ортонормальной системе нормируется на 2π.

Проверим:

Потому что:

Домашнее задание:

1. Докажите, что система функций: 1,cosx, cos2x, … ,cosnx ортогональна на [0;π].

2. Докажите, что система функций: 1,sin x, sin 2x, … , sin nx ортогональна на [0;π].

Пусть система функций ортогональна в .

Наличие ортогональной системы функций позволяет разложить по ней произвольную функцию :

(9)

Причём области определения и должны быть одинаковы, т.е.

,

или и образуют пространство функций (интегрируемость с квадратом (см. ранее)).

на интервале (a,b)

Для нахождения коэффициентов a_n, надо

(10)

(система функций ортогональна и остаётся один член с одинаковыми индексами).

Откуда,

(11)

Числа (11) являются коэффициентами ряда Фурье относительно элемента , ортогональной системе , а ряд (9)

(12)

является рядом Фурье функции по ортогональной системе .

Задача о наименьшей квадратичной ошибке

На практике бесконечную сумму считать невозможно и мы имеем конечную сумму.

Какова же ошибка ?

(13)

многочлен – n-го порядка по ортогональной системе.

Поставим задачу. При каких , многочлен ближе к , т.е. ошибка наименьшая. Под ошибкой будем понимать ошибку по норме (т.е. в точках могут быть большие отклонения)

(14)

и спрашивается при каких будет минимальным

(15)

Считая функции f и действительными, имеем

(16)

Теперь имеем

минимум достигается, если

(17)

условие экстремума

или , или из (16)

Откуда,

(18)

Осталось определить тип экстремума. Он зависит от знака

(19)

т.е. экстремум - это абсолютный минимум.

Таким образом, разложение Фурье по ортогональной системе обеспечивает минимум ошибки

(20)

с учётом связей ясно, что , т.к. это число есть min. неотрицательной нормы.

Из того, что следует

, (21.1)

где - многочлен.

И это неравенство имеет смысл при

, (21.2)

где - функция.

Это неравенство Бесселя.

Но если , то неравенство Бесселя сводится к неравенству Парсеваля

(22)

- функция, и

Отсюда выводы, чтобы ошибка была = 0 надо иметь полную ортогональную систему, т.е. все собственные функции.

Соответствующая теорема имеет вид.

Теорема. Для того, чтобы ортонормированная система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы для любой в этом же классе выполнялось равенство Парсеваля.

, (22)

где - коэффициенты разложения в ряды Фурье.

Воспользуемся соотношениями Парсеваля.

(23’)

Вычтем из первого второе

левая часть из (22)

(24)

из (22)

Более подробно:

(25)

откуда и следует ответ.

В (13) мы применили замену функции многочленом . Для минимизации ошибки, Чебышев показал, что любая непрерывная функция на интервале [a,b] лучше всего представима многочленами (в смысле минимума ошибки), если в качестве многочлена будут взяты многочлены Чебышева.

Полином Чебышева: первого рода

второго рода

(26)

T₀(x) = 1

T₁(x) = x

T₂(x) = 2x - 1

T₃(x) = 4x³ - 3x

T₄(x) = 8x⁴ - 8x +1

T₅(x) = 16x⁵ - 20x³+5x

U₀(x) = 1

U₁(x) = 2x

U₂(x) = 4x² - 1

U₃(x) = 8x³ - 4x

U₄(x) = 16x⁴ - 12x² +1