Пример аналитического получения кривой разгона

Рассмотрим получение кривой разгона печи с электрообогревом.

Исходные данные. Температура воздуха, окружающего печь, . Известно, что в течение 90 мин с момента отключения тока питания печь охлаждается с 500 до 100 °С.

Решение. Скорость изменения температуры печи с течением времени t есть производная температуры печи по времени .

При уменьшении температуры скорость охлаждения печи определяется как - .

С другой стороны, скорость охлаждения определяется выражением ,

где k – коэффициент пропорциональности (k>0).

Приравнивая производную к этому выражению, приходим к дифференциальному уравнению

или .

Интегрируя почленно, получим

.

На основании определения логарифма будем иметь

или

.

Положив , получим

.

Определим величины m и k.

Учитывая, что при t=0 температура электропечи , получим 480=me°, откуда m=480.

Следовательно,

.

Определение значения k ведётся следующим образом. Известно, что за 90 мин печь охлаждается до 100°С, т.е. при t=90 мин . Отсюда приходим к соотношению

.

Откуда или . Тогда можно записать

.

Полученное равенство и есть динамическая характеристика управляемого объекта. Задаваясь значениями t и подставляя их в уравнение, можно получить графическое изображение кривой разгона.

Эмпирические формулы расчёта кривых разгона смотри в [4].

Пример эмпирического расчёта кривой разгона

Рассмотрим пример эмпирического расчета характеристик кривой разгона уровня жидкости в резервуаре под давлением. Вид кривой показан на рис. 9 а, а функциональная схема объекта – на рис. 9 б.

Рис. 9

На рис. 9 обозначены:

- Q_H, Q₁, Q₂ – номинальный, на входе и выходе расходы жидкости в м³/с;

- F – площадь сечения резервуара в м²;

- L – длина транспортной трубы в м;

- H – высота жидкости в резервуаре в м;

- P₁, P₂ – избыточные давления на входе и выходе резервуара в кгс/см²;

- γ – удельный вес жидкости кг/м³;

- υ – скорость перемещения жидкости в трубе в м/с;

- Т₀ – постоянная времени кривой разгона в с;

- τ₀ – время запаздывания в кривой разгона в с.

В рассматриваемом примере статический коэффициент передачи объекта k_об, а также Т₀ и τ₀, определяются по следующим эмпирическим формулам: