Спектральные и временные характеристики

Отклонение физической величины р(t) в звуковой волне от состояния покоя может быть определено для каждого момента времени (детерминированный процесс) и носить случайный не­определенный характер (случайный процесс). Примером процес­са первого рода является шум вращения воздушного винта, звук сирены; примером процесса второго рода - шум воздушной струи. Совокупность детерминированных процессов может носить характер случайного процесса (рисунок 2.3), например наложение детермини­рованных шумов выхлопа отдельных автомобилей дает уличный шум, имеющий случайный характер.

Периодические процессы, повторяющиеся через время Т, на­зываемое периодом, являются детерминированными. Кратковре­менные процессы всегда являются непериодическими.

Случайный процесс можно представить состоящим из боль­шого числа кратковременных непериодических процессов, отли­чающихся друг от друга. Случайный процесс, средние статисти­ческие характеристики которого со временем не меняются, назы­вается стационарным, хотя он состоит из неповторяющихся эле­ментов.

Раньше шумом называли всякий звук случайного характера. В соответствии с установившейся в настоящее время терминоло­гией шумом будем называть всякий нежелательный звук в слышимом диапазоне частот. Поэ­тому при рассмотрении физических характеристик поля на практике чаще используется термин «звук », а при описании источников звука или физиологического воздействия звукового поля на че­ловека преимущественно применяется термин «шум».

Рисунок 2.3

Спектр периодического процесса

В силу линейности уравнений акустики сложное колебание р(t) всегда можно представить в виде суммы (суперпози­ции) более простых колебаний, например в виде суммы синусои­дальных волн. Для периодического детерминированного процес­са в какой-либо точке среды эта сумма будет иметь вид:

(2.24)

где n - целые числа, а основная круговая частота ω связана с периодом Т соотношением .

Величины С _n являются комплексными амплитудами отдель­ных синусоидальных составляющих. Они выражаются формулой

(2.25)

Процесс определения амплитуды С_п называется гармониче­ским анализом функции р(t), а величины С_п называются гармониками периодического процесса. Если учесть комплексность величины С_п, то выражение (2.24) мож­но представить в виде:

Величина А₀ является постоянной слагающей; если рассмат­риваются отклонения физических величин в волне от невозму­щенного состояния, то А₀ = 0. Аргумент называется фазой колебания, ψ_n - начальной фазой. Максимальное откло­нение р_тп называется амплитудой. Индекс п называется но­мером гармоники; значению п=1соответствует первая гармони­ка или основная частота. Колебания с кратными друг другу ча­стотами называются гармоническими составляющими.

Зависимость амплитуд р_тп или фаз ψ_n от частоты колебаний называется соответственно спектром амплитуд или фаз. Обычно в практике борьбы с шумом интерес представляет лишь абсолютная величина (модуль) гармоник р_тп безотноси­тельно к фазе ψ_n.

Средний квадрат периодической функции р(t), исходя из определения средней величины, равен:

(2.26)

Проделав необходимые вычисления, получим для синусои­дальных составляющих

. (2.27)

Это важная формула, так как она устанавливает связь мощности процесса (например, интенсивность звука в данной точке звукового поля) с амплитудами синусоидальных составляющих. Каждая величина пропорциональна мощности синусоидальной составляющей с амплитудой Р_mn. Таким образом, мощность периодического процесса равна сумме мощностей гармоник (энергетическое суммирование со­ставляющих). Начальные фазы гармоник никакой роли при этом не играют.

Зависимость от частоты называется спектром мощности или энергетическим спектром данного процесса.

Среднее квадратическое значение физической величины называется действующим или эффективным ее значением. Действующие значения гармоник выражаются через действую­щие значения амплитуд как .

Процесс может состоять из некратных друг другу синусои­дальных колебаний (почти периодический процесс, не являю­щийся периодическим), например сложение двух процессов с не­кратными друг другу периодами Т₁ и Т₂. В этом случае формула (2.27) также справедлива. Таким образом, средняя мощность любого детерминированно­го периодического или почти периодического процесса равна сум­ме мощностей его составляющих.

Спектр случайного процесса

Случайный процесс (каковыми в большинстве случаев явля­ются шумы) не имеет резко выраженного периода и поэтому, в отличие от периодического процесса, не может быть выражен че­рез гармонические составляющие. Однако он также обладает важными спектральными харак­теристиками.

Рассмотрим характеристику стационарного случайного шума. Установив­шимся во времени устойчивым процессам соответствуют обычно такие шумы, вероятностные характеристики которых не изменя­ются при любом сдвиге по времени. Если в бесконечной записи случайного процесса выделить несколько произвольных участ­ков одинаковой продолжительности Т (такие участки называются реализациями данного случайного процесса) и наложить друг на друга, то записанные кривые не совпадут ни при каких Т.

Такой непрерывный процесс обладает средней мощностью и энергетическим спектром этой мощности, т. е. распределением ее по частотам колебаний. Средняя фаза в силу случайности ко­лебания смысла не имеет.

Мощность такого процесса

(2.28)

где - средняя по времени мощность, приходящаяся на по­лосу частот шириной 1 гц.

Зависимость - от частоты называется энергетическим спект­ром данного случайного процесса или спектром его мощности. Величину можно назвать эффективной амплитудой слу­чайного процесса на частоте f, отнесенной к полосе шириной 1 гц.

Вид спектра зависит от спектральных характеристик одиноч­ных процессов, совокупность которых составляет случайный про­цесс, и от распределения их во времени.

Таким образом, средняя мощность периодического, почти пе­риодического и случайного процессов равна сумме мощностей их синусоидальных составляющих.

Совсем другая .картина может наблюдаться, если складыва­ются колебания от двух различных источников

P(t) = P₁(t) + P₂(t),

а не спектральные составляющие одного и того же .процесса. В этом случае:

(2.29)

Процессы p₁и р₂называются некогерентными в том случае, если их взаимная мощность 2р₁р₂ равна нулю. Для независимых друг от друга процессов, как показывает теория вероятностей, это условие соблюдается всегда.

Степень причинной связи двух одновременных процессов характеризуется их моментом (функцией) корре­ляции

, (2.30)

или нормированной величиной, называемой коэффициентом корреляции:

(2.31)

Условие равенства нулю коэффициента корреляции не всегда означает отсутствие причинной связи между составляющими, как .мы видели на примере синусоидальных составляющих одно­го и того же процесса.

При сложении двух процессов с одной и той же частотой они могут быть как когерентными, так и некоге­рентными (в зависимости от разности фаз составляющих).

Степень причинной связи во времени одного и того же слу­чайного процесса характеризует функция автокорреляции

(2.32)

где τ — время задержки. Для стационарного слу­чайного процесса R(τ) не зависит от момента време­ни, принятого за нуль.

Функция автокорреля­ции случайного процесса однозначно связана с его спектром мощности. Функ­ция автокорреляции и спектр мощности полностью равноправны при описании случайного процесса.

Составляющие энергети­ческого спектра стационар­ного случайного процесса сами являются случайными функциями времени, и их можно считать постоянными лишь при бесконечном времени усреднения. Реальные измерительные приборы обладают конечным временем усреднения, и поэтому показания их при измерениях спектра испытывают флуктуации случайного характера, размах которых зависит от свойств при­бора и ширины полосы частот. Чем эта полоса 'больше, тем флуктуации меньше.

По этой же причине при сложении случайных звуков, а так­же периодических сигналов, отличающихся по частоте менее чем на 10 гц, слух человека различает биения, так как время осред­нения человеческого уха составляет конечную величину порядка 1 00 мсек.

Графическоео изображение спектров.

Спектр периодического .процесса с основной частотой f₁ изобра­жается , в виде зависимости амплитуд составляющих от частоты (рисунок 2.4а). На графике откладываются отрезки, пропорциональные

Рисунок 2.4

либо амплитудам, либо их квадратам. Начальные фазы нас не интересуют.

Спектр почти периодического процесса имеет такой же вид, только частоты не всех составляющих кратны друг другу {рисунок 2.4б). Спектры процессов, составленных из синусоид, называются дискретными или линейчатыми. Следует обратить внимание на то, что линии на таком спектре, теоретически рассуждая, не име­ют ширины.

Спектр случайного или непериодического процесса (рисунок 2.4в) является оплошным, и поэтому его изображение требует обязательной оговорки о ширине ∆f элементарных полосок, к которым оно относится. По оси ординат откладываются, как по­казано на рисунке, либо средние квадратические значения эф­фективных амплитуд , либо соответствующие значения средних квадратов (энергий) в указанной полосе частот

, либо действующее значение амплитуды , либо уровни этих величин в дБ. Частота f₁называется .нижней граничной частотой полосы спектра, а f₂ — верхней. За среднюю частоту полосы обычно при­нимают среднюю геометрическую, равную

(2.33)

При оперировании с шумами их частотные .составляющие поч­ти всегда считают некогерентными, и предполагают, что они подчиняются энергетическим соотношениям. Тогда, если известна эффективная амплитуда полосы ∆₂ = f₂-f₁, то амплитуду полоски ∆₁f = 1 гц легко рассчитать по формуле

(2.34)

Обратный пересчет будет справедлив, если известно, что в диапазоне f₂-f₁ амплитуда существенно не изменяется.

Спектр нескольких пе­риодических и случайных процессов имеет смешанный характер (рисунок 2.4г) и изображается в виде наложения сплошного и дискретного спектров, причем совмещение их на одном графике является условным, так как амплитуда дискрет­ной составляющей не зависит от ширины полосы спектра, а ор­дината сплошной части от этой ширины сильно зависит в соот­ветствии с (2.34). Недопустимо распределять мощность дискрет­ной составляющей по частотам в полосе, так как это не соответ­ствует физической природе процесса.

Полосы частот.

При исследованиях шумов часто пользуются анализаторами с постоянной относительной полосой пропускания f₂/f₁=const. Полоса, у которой отношение f₂/f₁ ⁼ 2, называется октавой; если

f ₂/f₁ =1.26, то ширина полосы равна '/з октавы. При измерениях шумов используются также анализаторы с постоянной абсолютной полосой пропускания ∆_f = const. Стандарт­ные полосы указаны в таблице.

Уровень звукового давления

При анализе шума в качестве основной физиче­ской характеристики процесса обычно .выбирают уровень звуко­вого давления. Уровень в полосе ∆f = 1 Гцназывается уровнем спектра и обозначается β_Ш. Исходя из условия некогерентности составляющих связь между уровнем в полосе частот f₂ –f₁ и уровнем спектра записывается в виде:

L_(f2-f1) = 10lg (2.35)

Эта формула следует из закона сложения составляющих:

(2.36)

и из формулы (2.12), которую можно переписать в виде:

(2.37)

Таким образом, для конечного числа составляющих суммарный уровень звукового давления равен:

, (2.38)

где n — число полос сплошного шума плюс число дискретных составляющих, или

10^L/10 = (2.39)

Если имеется п одинаковых составляющих с уровнем звуко­вого давления каждой L_i , то суммарный уровень звукового давления будет равен:

L = L_i + 10lg n (2.40)

Чтобы облегчить вычисление суммарного уровня звукового давления при сложении “n” уровней, можно вместо формулы (2.38) воспользо­ваться графиком (рисунок 2.4), построенным последующему соотношению:

.

Рисунок 2.4

По оси абсцисс отсчитывается разность L₁-L₂ , по оси орди­нат - величина ∆L, которую нужно прибавить к большему уровню L₁, чтобы получить суммарный уровень. Так последова­тельно складываются все п составляющих.

Этим же графиком удобно пользоваться при определении уровня звукового давления, развиваемого несколькими некоге­рентными источниками.

Пример. Определить суммарный уровень звукового давления трех ком­понентов, уровни каждого из которых равны L₁=75 дБ, L₂=62 дБ и L₃=59 дБ.

Вычисляем значение L₂ -L₃=3 дБ; по графику находим ∆L=1,8 дБ, от­куда L₂^”= 62+1,8=63,8 дБ; L₁ – L₂^” =11.2 дБ; ∆L=0,3дБ; L = 75+0,3= =75,3 дБ.

Спектры, выраженные в уровнях звукового давления, обычно вычерчиваются в полулогарифмических координатах — равно­мерная шкала уровней и логарифмическая шкала частот.