Сферичний конденсатор 4 страница

13.4. Енергія магнітного поля.

13.1. Закон повного струму. Використання закону повного струму для розрахунку магнітного поля

Скористаємось рівнянням Максвелла для циркуляції вектора напруженості магнітного поля

, (13.1.1)

де j – густина струму провідності вільних електричних зарядів; - струм зміщення, не пов’язаний з наявністю вільних електричних зарядів; Н – напруженість магнітного поля.

У провідниках, в яких є вільні електричні заряди, струм зміщення відсутній (він може існувати лише у діелектричному середовищі), тобто

.

У цьому випадку рівняння (13.1.1) набуває вигляду:

. (13.1.2)

Рівняння (13.1.2) називається законом повного струму. Для написання закону повного струму через індукцію магнітного поля слід замінити Н у формулі (13.1.2) на

.

Закон повного струму у цьому випадку матиме вигляд

. (13.1.3)

Рівняння (13.1.3) формулюється так:

Циркуляція вектора індукції магнітного поля уздовж довільного замкнутого контуру дорівнює алгебраїчній сумі всіх струмів, охоплених цим контуром і помноженій на mm₀.

Як видно з рівняння (13.1.3)

.

Таке магнітне поле називається вихровим. Силові лінії магнітного поля є завжди замкнутими.

Скористаємось законом повного струму (13.1.3) для розра-хунку магнітного поля соленоїда і тороїда.

а) знайдемо циркуляцію вектора В вздовж замкнутого контуру ABCD (рис.13.1). У нашому випадку витки в соленоїді щільно прилягають один до одного. Соленоїд має довжину, значно більшу за діаметр.

Рис.13.1

.

На ділянках DA і BC ; Тут а

На ділянці CD ; Цю ділянку можна вибрати досить далеко від соленоїда, де магнітне поле відсутнє.

Тому з урахуванням цих зауважень маємо:

. (13.1.4)

де N – число витків, які вкладаються в інтервалі довжини соленоїда АВ; І – струм, який протікає в цих витках.

Але , де l = AB. Закон повного струму в цьому випадку перепишеться:

. (13.1.5)

Звідки індукція магнітного поля на осі довгого соленоїда буде дорівнювати:

. (13.1.6)

Вираз (13.1.6) показує, що на осі довгого соленоїда зі струмом І індукція магнітного поля дорівнює:

В = mm₀nI.

б) магнітне поле на осі тороїда.

Розглянемо тороїд, який має вигляд довгого соленоїда, кінець і початок якого збігаються (рис.13.2).

Рис.13.2

Витки в такій котушці щільно прилягають один до одного, а радіус осьової лінії R. Знайдемо циркуляцію вектора вздовж осьової лінії тороїда

,

де N - число витків у тороїді; І - струм у витках.

Але - довжина кола вздовж осьової лінії, тому

,

де - число витків на одиницю довжини осьової лінії тороїда.

Таким чином, індукція магнітного поля на осі тороїда визначається такою ж формулою, що і для довгого соленоїда, тобто

В = mm₀nI . (13.1.7)

13.2. Магнітний потік. Теорема Гаусса для магнітного поля

Потоком магнітної індукції або магнітним потоком називають скалярну величину, яка дорівнює:

, (13.2.1)

де - вектор індукції магнітного поля у напрямку нормалі до площадки dS (рис.13.3)

Рис.13.3

Повний магнітний потік через поверхню S знаходять шляхом інтегрування.

Розмірність магнітного потоку визначається так:

[Ф] = [В]×[S] = Тл×м² = Вб.

Магнітному потоку в 1 Вб відповідає 10⁸ силових ліній індукції магнітного поля крізь площадку в 1 м².

У випадку замкнутої поверхні слід відрізняти між собою такі особливості:

- силові лінії, які входять у поверхню, мають від’ємний потік, тому в цьому випадку

- силові лінії, які виходять з поверхні мають

- у загальному випадку

. (13.2.2)

Вираз (13.2.2) є теоремою Гаусса для магнітного поля. Суть цієї теореми полягає в тому, що силові лінії магнітного поля не пов’язані з магнітними зарядами. Магнітних зарядів у природі не існує. Описане явище показане на рис. 13.4.

Рис.13.4

. (13.2.3)

13.3. Робота переміщення провідника із струмом і контуру із струмом у магнітному полі

Знайдемо роботу, яку слід виконати для переміщення провідника із струмом І у магнітному полі, як це показано на рис. 13.5

Рис.13.5

Провідник, що має довжину l і струм І виготовлений у вигляді коточка і має можливість переміщуватись. На рухому частину провідника з сторони магнітного поля діє сила Ампера, напрям якої визначається правилом лівої руки.

Для переміщення такого коточка вздовж направляючих дротів слід прикладати силу F, яка має бути рівною силі Ампера. Робота в цьому випадку буде дорівнювати:

. (13.3.1)

де F_A=IBl – величина сили Ампера, яка діє на рухомий коточок, тому:

dA = -IВldx = -IВdS = -IdF (13.3.2)

Знак мінус показує, що робота виконується проти сили Ампера.

Якщо роботу виконує сила Ампера, то

dA= IdF (13.3.3)

де dА – позитивна робота, виконана силою Ампера.

Після інтегрування одержуємо роботу сили по переміщенню провідника із струмом у магнітному полі.

A = -IDF,

або

A =IDF. (13.3.4)

У випадку контуру із струмом, який рухається у магнітному полі, слід враховувати як позитивну роботу, так і негативну роботу переміщення двох частин цього контуру (рис.13.6)

Рис.13.6

При русі частини контуру АС (зліва) робота виконується позитивна. Тому в цьому випадку

dA₁ = I(dF₁ + dF₀), (13.3.5)

де dФ₁ – потік, який визначається площею лівої частини контуру АС (заштрихована площа),

dФ₀ - потік, який визначається площею самого контуру з струмом.

При переміщенні правої сторони цього контуру робота буде дорівнювати

dA₂ = -I(dF₂ + dF₀), (13.3.6)

де dФ₂ – потік, який утвориться переміщенням правої частини контуру; dФ₀ – потік за рахунок площі самого контуру.

Ця площа перекривається площею правої сторони контуру. Робота dА₂ – від’ємна.

У загальному випадку робота переміщення контуру з струмом у магнітному полі буде дорівнювати

dA = I(dF₁ - dF₂)= IdF. (13.3.7)

Після інтегрування одержимо

А=ІDФ. (13.3.8)

Висновок. Робота переміщення провідника із струмом і контуру із струмом визначається однаковою формулою.

13.4. Енергія магнітного поля

Розглянемо замкнуте коло, в якому є резистор R, котушка L і джерело струму e (рис.13.7)

Рис.13.7

Скористаємось другим правилом Кірхгофа для замкнутого контуру, показаного на рис.13.7.

У цьому випадку

, (13.4.1)

або

, (13.4.2)

де - електрорушійна сила самоіндукції, діє лише в момент замикання або розмикання кола.

З рівняння (13.4.2) визначимо електрорушійну силу джерела

. (13.4.3)

Зведемо цей вираз до спільного знаменника

edt = Irdt + LdI . (13.4.4)

Помножимо вираз (13.4.4) на струм І, одержимо

Iedt = I²rdt + LIdI , (13.4.5)

де I²rdt - джоулевe тепло; Iedt - робота сторонніх сил джерела струму; LIdI - енергія магнітного поля, локалізована в котушці зі струмом.

Тому

dW_м= LIdI . (13.4.6)

Інтегруємо цей вираз у межах зміни енергії магнітного поля від 0 до W_м, а струму від 0 до І, одержимо

,

або

. (13.4.7)

Вираз (13.4.7) визначає енергію магнітного поля котушки зі струмом.

Для довгого соленоїда L=mm₀n²V. Підставимо це значення L у (13.4.7), одержимо

. (13.4.8)

де m²m₀²n²І²=В² – квадрат індукції магнітного поля соленоїда.

З урахуванням цього зауваження одержуємо:

. (13.4.9)

При діленні енергії магнітного поля на об’єм одержимо об’ємну густину енергії магнітного поля, локалізованого в котушці

,

або

. (13.4.10)

ЛЕКЦІЯ 14

МАГНІТНЕ ПОЛЕ В РЕЧОВИНІ

14.1. Струми і механізм намагнічування. Намагнічуваність