Сферичний конденсатор 1 страница

Сферичний конденсатор складається з двох сферичних поверхонь, розділених шаром діелектричної речовини з діелектричною проникністю e (рис.8.5).

Рис.8.5

Напруженість електричного поля на відстані r можна розрахувати, як для точкового заряду

. (8.2.13)

Знайдемо ємність сферичного конденсатора за аналогією з розрахунками ємності плоского і циліндричного конденсаторів.

,

,

або

(8.2.14)

Вираз (8.2.14) підставимо у (8.2.4), одержимо ємність сферичного конденсатора

. (8.2.15)

Конденсатори різних типів мають досить широке практичне використання.

З’єднання конденсаторів

У випадку, коли до батареї конденсаторів прикладена стала різниця потенціалів ( Dj = const), будемо мати:

а). паралельне з’єднання конденсаторів

. (8.2.16)

б). послідовне з’єднання конденсаторів

,

звідки

. (8.2.17)

8.3. Енергія взаємодії електричних зарядів. Енергія окремого провідника і конденсатора

Енергія системи нерухомих точкових електричних зарядів

Розглянемо систему двох електричних зарядів q₁ і q₂, які перебувають на відстані r один від одного, кожний з яких в полі другого заряду має потенціальну енергію

;

,

де φ_1,2 – потенціал першого заряду в полі другого заряду; φ_2,1 – потенціал другого заряду в полі першого заряду.

Оскільки енергії і - однакові, то енергія системи нерухомих електричних зарядів q₁ і q₂ буде дорівнювати

. (8.3.1)

Якщо взаємодіють n електричних зарядів, то за аналогією з (8.3.1) будемо мати

. (8.3.2)

де - потенціал в точці розміщення і-го заряду, створюваний всіма n зарядами цієї системи.

Вираз (8.3.2) дає можливість розрахувати енергію взаємодії будь-якої системи статичних зарядів.

Енергія зарядженого окремого провідника

Розглянемо окремий провідник, заряд, ємність і потенціал якого відповідно дорівнюють q, C, j. Для зміни потенціалу провідника на величину dj слід виконати елементарну роботу по перенесенню заряду dq з безмежності в дану точку провідника

.

Щоб зарядити провідник від нульового потенціалу до величини j, необхідно виконати роботу

. (8.3.3)

Тому енергія окремого зарядженого провідника визначається формулою

,

а з врахуванням співвідношення , будемо мати

. (8.3.4)

Енергія зарядженого конденсатора

Для знаходження енергії зарядженого конденсатора слід розрахувати роботу переміщення заряду q з однієї пластини на іншу пластину.

Елементарна робота зовнішніх сил перенесення малого заряду dq з обкладки 2 конденсатора на обкладку 1 буде дорівнювати

.

Робота переміщення заряду q визначається інтегралом

.

З використанням співвідношення , енергія зарядженого конденсатора буде дорівнювати

. (8.3.5)

Оскільки різницю потенціалів двох точок поля можна виразити однією буквою U, то формули (8.3.5) матимуть вигляд:

. (8.3.6)

8.4. Енергія електростатичного поля. Густина енергії електро-статичного поля

У загальному випадку електричну енергію системи заряджених нерухомих тіл, провідників і непровідників, можна знайти за формулою:

(8.4.1)

де s і r - відповідно поверхнева і об’ємна густини вільних електричних зарядів; j - потенціал результуючого поля всіх вільних і зв’язаних електричних зарядів, заряджених поверхонь і об’ємів.

Інтегрування виразу (8.4.1) слід здійснювати по всім зарядженим поверхням S і по всьому об’єму V заряджених тіл системи.

Для прикладу знайдемо енергію поля плоского конденсатора. Скористаємось формулою (8.3.6), а саме

.

Для плоского конденсатора

, U=Ed,

де Е – напруженість поля між пластинами конденсатора; d – відстань між пластинами.

В цьму випадку енергія поля зарядженого конденсатора буде дорівнювати:

, (8.4.2)

де V = Sd – об’єм діелектрика; Е – напруженість електричного поля в діелектрику.

Густину енергії електричного поля в діелектрику можна знайти, поділивши вираз (8.4.2) на об’єм V, тобто

. (8.4.3)

За допомогою формули (8.4.3) знаходять густину енергії електричного поля в об’ємі діелектрика. Її інколи називають об’ємною густиною енергії поля конденсатора.

Вираз (8.4.3) показує, що вся енергія зарядженого конденсатора локалізована в електростатичному полі діелектрика. Цією формулою можна скористатись і для неоднорідних полів.

ЛЕКЦІЯ 9

ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ В ДІЕЛЕКТРИКУ

9.1. Зв’язані і вільні електричні заряди. Поляризованність діелектрика . Діелектрична сприйнятливість.

9.2. Вектор електричного зміщення. Теорема Гаусса для поля в діелектрику. Діелектрична проникність.

9.3. Поле в діелектрику. Умови на межі двох діелектриків.

9.4. Сегнетоелектрики (самостійно).

9.1. Зв’язані й вільні електричні заряди. Поляризованість

діелектрика. Діелектрична сприйнятливість

Діелектриками (або ізоляторами) називають речовини, які практично не проводять електричний струм. В таких речовинах відсутні вільні електричні заряди.

Однак, це зовсім не означає, що зовнішнє електричне поле не діє на діелектрики. За результатами дії електричного поля на діелектрики останні можна поділити на три групи:

а) полярні діелектрики H₂O, NH₃, BaTiO_3, …

б) неполярні діелектрики H_2, N₂, CO₂, CH₄,…

в) іонні кристали NaCl, KCl,…

Зупинимося на більш детальній характеристиці кожної групи діеле-ктриків та дії на них зовнішнього електричного поля.

Полярні діелектрики

Існує ряд діелектриків, в молекулах яких уже від природи зміщені центри позитивних і негативних зарядів у відношенні один до одного. Такі молекули за своєю природою ще називаються диполями. Прикладом дипольної будови може бути молекула води. Атоми водню у такій молекулі створюють ковалентні зв’язки з атомом кисню. Молекула має несиметричний характер (рис. 9.1).

Рис.9.1.

Електричний дипольний момент такої молекули дорівнює добутку величини зміщеного електричного заряду q на відстань між центрами зміщених зарядів.

. (9.1.1.)

Напрям вектора дипольного моменту направлений по лінії від позитивного заряду в сторону негативного заряду, як це показано на рис. 9.1.

У формулі (9.1.1.) величина електричного заряду

.

При внесенні полярного діелектрика у зовнішнє електричне поле він буде поляризуватись. Суть поляризації діелектрика зводиться до орієнтації полярних молекул у напрямку силових ліній електричного поля. Схематично цей процес можна подати за допомогою рис. 9.2.

Е 0

а) б)

Рис.9.2.

На окрему дипольну молекулу зі сторони зовнішнього електричного поля буде діяти пара сил , моменти яких направлені від нас за площину рис. 9.3.

Рис.9.3.

Під дією цих моментів молекула повертається і займає положення, при якому її дипольний момент направляється по лінії напруженості (рис.9.4).

Рис.9.4.

Покажемо це за допомогою розрахунків. На електричний диполь буде діяти пара сил , момент яких направлений за площину рисунка.

.

Враховуючи, що F = qE, одержимо

,

або

. (9.1.2)

При дії цього моменту сил відбувається повертання дипольної молекули до тих пір, доки і не будуть орієнтовані вздовж однієї лінії (рис. 9.4).

Реальна картина поляризації полярних діелектриків ускладнюється за рахунок взаємодії між окремими дипольними моментами. В цьому випадку розрахований момент сил в певній мірі зменшується.

Неполярні діелектрики

В неполярних молекулах при відсутності зовнішнього електричного поля центри позитивних і негативних зарядів у межах молекули збігаються.

При внесенні таких молекул у зовнішнє електричне поле вони стають полярними. Це означає, що під дією зовнішнього електричного поля деформуються електронні оболонки молекул (рис. 9.5).

Рис.9.5

Процес поляризації неполярних молекул має пружні властивості, подібно до пружної механічної деформації, яка пояснюється законом Гука.

Дослідним способом установлено, що величина дипольного моменту всіх молекул у зразку діелектрика пропорційна напруженості зовнішнього електричного поля Е, тобто

, (9.1.3)

де e₀ – діелектрична стала; c - діелектрична сприйнятливість ( різна для різних діелектриків, безрозмірна величина).

Для діелектриків завжди c>0. Діелектрична сприйнятливість c не залежить від величини напруженості електричного поля Е.

Іонні діелектрики

При внесенні в зовнішнє електричне поле іонних діелектриків (кристали кухонної солі NaCl та інші) кристалічні гратки останніх деформуються. Вузли гратки, які заряджені позитивно, орієнтуються по полю, негативно заряджені вузли орієнтуються проти силових ліній електричного поля.

Таким чином, і в іонних кристалах здійснюється поляризація.

Мірою поляризації діелектрика є відмінний від нуля в об’ємі V дипольний момент діелектрика .

, (9.1.4)

де р_і –дипольний момент однієї молекули.

Кількісною мірою поляризації діелектрика є вектор поляризації. Вектором поляризації діелектрика називають електричний момент одиниці об’єму діелектрика.

, (9.1.5)

де V – об’єм діелектрика; - векторна сума всіх дипольних моментів окремих молекул в цьому об’ємі.

Помножимо і поділимо (9.1.5) на число окремих диполів у об’ємі V.

, (9.1.6)

де n – концентрація диполів, - середнє значення дипольного моменту однієї молекули.

Знайдемо зв’язок між вектором поляризації і величиною зв’язаного заряду s¢. Розглянемо діелектричну призму перерізом S і довжиною L, розміщену в зовнішнє електричне поле з напруженістю (рис. 9.6).

Рис. 9.6

Під дією зовнішнього електричного поля у діелектрику відбудеться зміщення електричних зарядів з утворенням поля Е¢. На торцях циліндра появляються заряди +s¢S і -s¢S. Відстань між цими зарядами дорівнює L. Тому електричний момент циліндра буде дорівнювати s¢SL.

Але з другого боку електричний момент всього циліндра чисельно дорівнює значенню суми векторів моментів всіх молекул циліндра, тому

=s¢SL . (9.1.7)

Числове значення вектора поляризації діелектрика можна одержати, якщо поділити (9.1.6) на об’єм циліндра

. (9.1.8)

Але об’єм циліндра дорівнює

DV = SLcos a , (9.1.9)

де a - кут між напрямком нормалі до циліндра і вектором . Підставимо (9.1.9) у (9.1.8), знайдемо вираз для вектора поляризації .

,

звідки

s¢ = Р cos a = Р_n,

де Р_n – проекція вектора поляризації на нормаль до поверхні циліндра.

Тому

s¢=Р_n, (9.1.10)

Густина поверхневих зв’язаних зарядів s¢ чисельно дорівнює перпендикулярній складовій вектора поляризації. З урахуванням співвідношення (9.1.3) одержимо, що

s¢ = ce₀Е_n¢. (9.1.11)

9.2. Вектор електричного зміщення. Теорема Гаусса для поля в

діелектрику. Діелектрична проникність

Розглянемо діелектрик, який розміщено між пластинами конденсатора, площа яких досить велика порівняно з відстанню між пластинами. Лише при цій умові електричне поле в центральній частині конденсатора можна вважати однорідним (рис. 9.7).

З рисунка видно, що електричне поле , створюється вільними зарядами, розміщеними на пластинах конденсатора. Електричне поле створено зв’язаними електричними зарядами. Вектор поляризації безпосередньо відноситься до вільних зарядів на пластинах конденсатора.

Рис.9.7

В діелектрику поля і паралельні, тому результуюче поле визначається за допомогою принципу суперпозиції

+ .

В скалярній формі

| |=Е₀-Е¢,

де .

Скористаємося теоремою Гаусса до замкнутої поверхні у вигляді циліндра з стороною h паралельною до вектора . Нехай висота циліндра h»0, тоді

,

де Е = Е₀ - .

З урахуванням того, що Е¢ і Р_n мають протилежні знаки, одержимо (рис. 9.7)

(9.2.1)

Помножимо рівняння (9.2.1) на e₀, одержимо:

. (9.2.2)

Величину в дужках в лівій частині рівняння називають вектором електричного зміщення і позначають буквою .

. (9.2.3)

Вектор електричного зміщення визначається лише вільними зарядами і не залежить від властивостей діелектрика.

Теорема Гаусса для поля в діелектрику буде мати вигляд

. (9.2.4)

Із викладеного вище відомо, що

=ce_{о о}.

Підставимо величину вектора поляризації у співвідношення (9.2.3), одержимо

. (9.2.5)

Величину 1+c у співвідношенні (9.2.5) називають відносною діелектричною проникністю середовища і позначають буквою e, тобто

e= 1+c . (9.2.6)

З урахуванням (9.2.6) вектор електричного зміщення буде мати вигляд

(9.2.7)

Для вакууму e =1; в діелектричному середовищі e >1.

Фізично відносна діелектрична проникність середовища показує у скільки разів напруженість електричного поля у вакуумі більша за напруженість цього ж поля у деякому діелектричному середовищі.

9.3. Поле в діелектрику. Умови на межі двох діелектриків