Сферичний конденсатор 2 страница

- зовнішнє поле , утворене різницею потенціалів між клемами джерела;

- внутрішнє, або поле сторонніх сил ^* , яке діє лише у джерелі (рис.10.1).

Рис.10.1

Струм І існує у зовнішній ділянці кола і створюється полем . Струм існує у джерелі і створюється полем сторонніх сил .

На будь-який заряд у цьому випадку діятиме сила, величина якої дорівнює

= . (10.1.1)

Під дією цієї сили виконується елементарна робота

= . (10.1.2)

З урахуванням (10.1.1) елементарна робота буде дорівнювати:

, (10.1.3)

де - теорема про циркуляцію вектора .

Тому величину - називають електрорушійною силою джерела струму, тобто

. (10.1.4)

Електрорушійна сила джерела струму чисельно дорівнює роботі переміщення точкового електричного заряду сторонніми силами в замкнутому колі, включаючи і саме джерело, до величини цього заряду, тобто

(10.1.5)

Причиною виникнення е. р. с. джерела струму може бути також змінне в часі магнітне поле, що видно із одного із рівнянь Максвелла

, (10.1.6)

де - змінне в часі магнітне поле; - потік змінного в часі магнітного поля крізь довільну замкнуту поверхню в перпендикулярному напрямку до цієї поверхні. Це та інші рівняння Максвелла будуть розглянуті в наступній лекції.

10.2. Закон Джоуля-Ленца в інтегральній формі. Опір провідників. Потужність струму

Найпростішою формою дії струму в провіднику є його теплова дія. Дослідним шляхом установлено, що:

а) кількість теплової енергії, яка виділяється у провіднику, прямо пропорційна часу дії струму, тобто dQ ~ dt;

б) величина теплової енергії струму пропорційна квадрату струму в провіднику, тобто dQ ~ І².

З урахуванням цих двох дослідних фактів можна зробити висновок, що кількість теплової енергії, яка ввиділяється у провіднику завдяки дії електричного струму, пропорційна квадрату струму й часу його протікання, тобто

dQ ~ I²dt . (10.2.1)

Якщо у співвідношення (10.2.1) ввести коефіцієнт пропорційності, то одержимо рівність

dQ = RI²dt. (10.2.2)

Рівність (10.2.2) називають законом Джоуля-Ленца в інтегральній формі. Коефіцієнт пропорційності в цьому законі називають електричним опором провідника.

З рівності (10.2.2) опір провідника буде дорівнювати

, (10.2.3)

де dQ – кількість теплової енергії, яка переноситься електричним струмом; І² – квадрат величини електричного струму; dt – час проходження струму.

Розмірність електричного опору відповідно до (10.2.3) має значення

.

Опір провідників вимірюється в омах (Ом).

Встановимо фізичну суть опору провідника, який має вільні електричні заряди, що у випадку відсутності електричного поля рухаються хаотично між вузлами кристалічної гратки з досить великими швидкостями. Середнє значення швидкості хаотичного руху електронів у металевому провіднику приблизно дорівнює 10⁶ м/с.

Температура на швидкість хаотичного руху носіїв струму в провіднику практично не впливає.

Рис.10.2

На рис.10.2 схематично показано ділянку кристалічної структури. Простір між вузлами кристалічної гратки заповнений вільними електронами.

Електричний опір провідника чисельно дорівнює роботі, яка виконується сторонніми силами джерела струму для подолання хаотичності руху вільних електронів, взаємодії їх один з одним і з вузлами кристалічної гратки.

Слід відмітити, що найбільше енергії джерела струму витрачається на подолання взаємодії носіїв струму з позитивно зарядженими вузлами кристалічної гратки. В меншій мірі енергія джерела витрачається на подолання хаотичності руху й взаємодії носіїв між собою.

У масштабах країни на подолання електричного опору в лініях електропередач витрачається до 25% виробленої електричної енергії.

Опір провідників зростає при їх нагріванні. Пояснити це зростання опору можна збільшенням амплітуди коливань вузлів кристалічної гратки, і як наслідок, зростанням частоти захоплення вузлами кристалічної гратки вільних електричних зарядів. На хаотичність руху носіїв і взаємодію їх один з одним зростання температури практично не впливає (буде пояснено в 3-й частині курсу фізики).

Вираз для потужності електричного струму можна отримати із рівності (10.2.2).

У випадку нерухомого провідника робота струму дорівнює тепловій енергії, тому потужність струму буде дорівнювати

. (10.2.4)

З цієї рівності видно, що величина потужності струму пропорційна квадрату струму, що протікає в колі.

10.3. Закони Ома для ділянки кола, неоднорідної ділянки кола й замкнутого кола. Правила Кірхгофа

Розглянемо неоднорідну ділянку кола, опір якої дорівнює R + r (рис.10.3).

Рис.10.3

На кінцях такої ділянки створена різниця потенціалів j₁ - j₂. Робота переміщення заряду dq вздовж цієї ділянки дорівнює

, (10.3.1)

де - електрорушійна сила джерела струму; - різниця потенціалів на кінцях провідника.

Якщо ж провідник нерухомий, то цю ж роботу можна виразити із закону Джоуля-Ленца, тобто

, (10.3.2)

де - загальний опір ділянки кола й джерела струму; І – величина струму в ділянці кола; dt – час проходження струму.

Прирівняємо праві сторони цих рівностей

. (10.3.3)

Але заряд dq можна виразити через струм І і час проходження струму dt, тобто

. (10.3.4)

Підставимо вираз (10.3.4) у (10.3.3) і після відповідного скорочення одержимо:

= ,

звідки

. (10.3.5)

Рівність (10.3.5) називається законом Ома для неоднорідної ділянки кола, тобто ділянки кола , яка містить електрорушійну силу джерела e.

У випадку відсутності електрорушійної сили e у колі одержимо закон Ома для ділянки кола

. (10.3.6)

Якщо коло замкнуте, то j₁- j₂ = 0, тому що початкова й кінцева точки збігаються. У такому випадку одержимо закон Ома для замкнутого кола, тобто

. (10.3.7)

Закономірності (10.3.5), (10.3.6) і (10.3.7) називаються законами Ома в інтегральній формі. Ці закони мають широке практичне використання для розрахунку електричних кіл в електротехніці.

Розглянемо ділянку розгалуженого кола, яке складається з трьох неоднорідних ділянок АВ, ВС і СА (рис.10.4)

На цьому рисунку точки А,В,С називаються вузловими точками. В ці точки входять і виходять не менше трьох струмів. Для вузлових точок у відповідності із законом збереження електричних зарядів, має виконуватись умова, згідно з якою

. (10.3.8)

Рівність (10.3.8) називають першим правилом Кірхгофа. Суть цього правила така:

Алгебраїчна сума всіх струмів будь-якої вузлової точки розгалуження дорівнює нулю.

Рис.10.4

Запишемо закон Ома для кожної окремої неоднорідної ділянки кола (рис. 10.4):

, (10.3.9)

, (10.3.10)

. (10.3.11)

Зведемо рівності (10.3.9) – (10.3.11) до спільного знаменника й додамо їх

І₁(R₁+r₁) + I₂(R₂+r₂) + I₃(R₃+r₃) = e₁+ e₂+ e₃,

або

, (10.3.12)

де - алгебраїчна сума всіх спадів напруг в замкнутому колі; - алгебраїчна сума електрорушійних сил в цьому колі.

Рівність (10.3.12) називається другим правилом Кірхгофа. Правила Кірхгофа значно полегшують розрахунки розгалужених кіл і широко використовуються в електротехнічних дисциплінах.

10.4. Закони Ома й Джоуля-Ленца в диференціальній формі. Густина електричного струму в провіднику

Розглянемо елемент провідника перерізом S і довжиною . Концентрація вільних електронів у такому провіднику дорівнює n (рис.10.5)

Рис.10.5

Нехай в такому елементі за допомогою сторонньої сили джерела e створений струм І. Величина струму в провіднику буде дорівнювати:

, (10.4.1)

де - число зарядів у елементі провідника з об’ємом ; n – концентрація вільних електронів; q_o – елементарний електричний заряд; - середня швидкість направленого руху носіїв струму.

Розрахунки показують, що наближено кілька міліметрів за секунду. Це дуже мала швидкість. Швидкість хаотичного руху електронів у металевому провіднику при звичайних умовах має порядок 10⁶ м/с.

Густину струму провідності в провіднику легко знайти, поділивши (10.4.1) на переріз провідника S

. (10.4.2)

Розрахунки показують, що у кабелі з двох жил перерізом 1 мм² безпечним є струм, який не перевищує величини (12,5 ¸ 15)А. Якщо цей струм, а також концентрацію вільних носіїв струму, яка для більшості провідників не перевищує 10²⁹ м^-3 , підставити у формулу (10.4.2), то одержимо значення швидкості направленого руху електронів. Ця швидкість буде дорівнювати лише кілька міліметрів за секунду. В процесі направленого руху носії струму більшість часу перебувають у вузлах кристалічної решітки.

Знайдемо середню швидкість направленого руху носіїв струму у провіднику, які рухаються під дією сторонніх сил джерела струму.

Будемо вважати, що між двома сусідніми взаємодіями з вузлами кристалічної решітки носії струму рухаються з прискоренням a. Нехай між двома сусідніми взаємодіями кожен з електронів вільно рухається протягом часу t. Перед взаємодією швидкість електрона досягає максимального значення u_max Вириваючись із вузла решітки швидкість електрона дорівнює нулю.

Тому середня швидкість направленого руху електрона між двома сусідніми взаємодіями буде дорівнювати

. (10.4.3)

Оскільки рух рівноприскорений, то

u_max = at.

Прискорення руху носіїв струму простіше знаходити із 2-го закону Ньютона, тобто

q_оE = ma,

звідки

а = .

Тому

u_max = , (10.4.4)

де q_o – елементарний заряд; Е – напруженість електричного поля у провіднику; t - час вільного руху між двома взаємодіями; m – маса електрона.

Підставимо (10.4.4) у (10.4.3), одержимо

. (10.4.5)

Значення середньої швидкості підставимо у формулу (10.4.2), одержимо закон Ома у диференціальній формі

, (10.4.6)

де n – концентрація вільних носіїв струму у провіднику; q₀ – величина елементарного заряду; τ – час вільного руху носіїв струму між двома сусідніми взаємодіями; m- маса носія струму у провіднику (у більшості випадків це маса електрона).

Величину s = називають питомою електропровідністю провідника.

Знайдемо енергію, яка переноситься вільними електричними зарядами у провіднику одиничного об’єму, за одиницю часу, тобто

, (10.4.7)

де w - енергія, яка переноситься електронами одиниці об’єму провідника за одиницю часу.

Оцінити цю енергію можна так. За одиницю часу кожен з електронів захоплюється вузлами кристалічної гратки разів, щоразу передаючи гратці кінетичну енергію . Оскільки в одиниці об’єму провідника міститься n вільних електронів, то енергія, яка переноситься всіма електронами одиниці об’єму провідника за одиницю часу буде дорівнювати

, (10.4.8)

де n – концентрація вільних електронів у провіднику; - число взаємодій кожного із електронів протягом 1с з вузлами кристалічної гратки провідника; - кінетична енергія, яка щоразу передається кожним із електронів в процесі взаємодії з вузлами кристалічної гратки.

Підставивши в (10.4.8) значення u_max із (10.4.4), одержимо закон Джоуля-Ленца в диференціальній формі

, (10.4.9)

або

w = sЕ². (10.4.10)

ЛЕКЦІЯ 11

МАГНІТНЕ ПОЛЕ У ВАКУУМІ

11.1. Магнітне поле. Магнітна індукція. Закон Ампера.

11.2. Закон Біо-Савара-Лапласа та його використання в найпростіших випадках:

а) Магнітне поле прямолінійного провідника із струмом;

б) Магнітне поле кругового провідника із струмом;

в) Магнітне поле соленоїда.

11.3. Магнітний момент контуру із струмом.

11.1. Магнітне поле. Магнітна індукція. Закон Ампера

Дослідним шляхом установлено, що подібно до електричних зарядів, навколо яких виникає електричне поле, в просторі навколо провідників із струмом або постійних магнітів виникає магнітне поле. Магнітне поле – це одна із форм існування матерії, завдяки якій здійснюється взаємодія струмів і постійних магнітів.

Встановлено також, що:

- магнітне поле діє лише на рухомі електричні заряди;

- рухомі електричні заряди створюють у просторі магнітне поле;

- магнітне поле не діє на статичні заряди.

Характер дії магнітного поля на струм залежить:

- від форми провідника, по якому тече струм;

- від розміщення провідника в просторі.

У якості пробного тіла для дослідження магнітного поля використовують замкнутий пробний контур з струмом, лінійні розміри якого досить малі. Магнітне поле такого пробного контуру не повинно створювати зовнішнього магнітного поля. При розміщенні такої рамки у досліджуване зовнішнє магнітне поле, із сторони останнього, на рамку діятиме обертальний момент сил М. Елементарна рамка із струмом займе певний напрям у просторі так, щоб магнітне поле рамки і досліджуваного магнітного поля збігалися (рис 11.1).

Рис11.1

Орієнтація контуру в просторі характеризується напрямком нормалі до контуру.

Додатний напрям нормалі визначається правилом правого гвинта. За позитивний напрям нормалі приймається напрям поступального руху правого гвинта, обертання якого збігаються з напрямком струму в пробній рамці.

За напрям магнітного поля у даній точці простору приймається напрям, вздовж якого направляється позитивно орієнтована нормаль до контуру.

Момент сил, який створюється зовнішнім магнітним полем у рамці із струмом, визначається векторним добутком вектора магнітного моменту рамки із струмом і магнітної індукції зовнішнього магнітного поля

, (11.1.1)

де - магнітний момент пробної рамки із струмом I і площею S; - вектор магнітної індукції – силова характеристика зовнішнього магнітного поля.

Скалярна величина вектора моменту сили визначається формулою

. (11.1.2)

Якщо в дану точку зовнішнього магнітного поля розміщувати елементарні рамки із різними магнітними моментами , то на них з сторони магнітного поля будуть діяти різні обертальні механічні моменти сил . Однак відношення для кожного випадку буде сталою величиною, яка є силовою характеристикою цього поля. Позначають цю величину буквою і називають індукцією магнітного поля.

. (11.1.3)

Індукція магнітного поля вимірюється у теслах (Тл), розмірність якого визначається з (11.1.3)

.

Подібно до електричного поля магнітне поле зображають з допомогою силових ліній магнітного поля, напрям яких у кожній точці поля збігається із напрямком вектора .

Лінії індукції магнітного поля завжди замкнуті й охоплюють провідники із струмом. Замкнутість силових ліній магнітного поля характеризує вихровий характер цього поля.

Природа магнітного поля зводиться або до руху електричних зарядів, або до змінного в часі електричного поля. Про це свідчать рівняння Максвела:

а) , (11.1.4)

де - циркуляція вектора електростатичного поля вздовж довільного замкнутого контуру; - потік змінного в часі вихрового магнітного поля крізь довільну замкнуту поверхню;

б) , (11.1.5)

де - струм провідності, який створюється в провіднику вільними електричними зарядами; - потік змінного в часі електричного поля, що інколи називають струмом зміщення. Струм зміщення не пов’язаний з рухом будь-яких електричних зарядів.

Рівняння Максвелла (11.1.4) і (11.1.5) характеризують взаємозв’язок електричних і магнітних явищ. З рівняння (11.1.4) чітко видно, що змінне в часі магнітне поле є причиною виникнення вихрового електричного поля. Останнє, створює електричний струм у замкнутому провіднику.

З рівняння (11.1.5) випливає, що причиною виникнення магнітного поля може бути або струм провідності, або змінне в часі електричне поле, яке не обов’язково призводить до руху зарядів у провіднику.

Оскільки будь-який струм є причиною виникнення магнітного поля, то це пояснює дослідний факт силової дії магнітного поля на провідник із струмом.

Величину цієї сили знайшов Ампер, тому вона називається силою Ампера

, (11.1.6)

де - вектор елементу струму, що збігається з напрямком струму у провіднику; - індукція зовнішнього магнітного поля.

Рис.11.2

На рис.11.2 струм створюється позитивними зарядами, напрям руху яких збігається з напрямком струму.

Напрям сили Ампера визначається правилом лівої руки. Якщо силові лінії магнітного поля входять в долоню лівої руки, а чотири пальці направлені по напрямку струму у провіднику, то великий палець, відхилений на 90⁰, покаже напрямок сили Ампера.

11.2. Закон Біо-Савара-Лапласа та його використання у найпростіших випадках

Ще на початку 19-го сторіччя французькі фізики Біо і Савар, обробляючи величезний експериментальний матеріал вивчення характеристик магнітного поля провідників зі струмом за участю математика Лапласа, одержали формулу, яка дістала назву у фізиці закону Біо-Савара-Лапласа.

У векторній формі цей закон має вигляд

, (11.2.1)

де m - відносна магнітна проникність середовища, безрозмірна величина; m_о – магнітна постійна ( ); I – струм у провіднику; - елемент провідника; - відстань від елемента струму до точки, в якій знаходиться індукція магнітного поля (рис.11.3).

Рис.11.3

З видно, що вектор індукції магнітного поля є дотичною до силової лінії магнітного поля, яка охоплює провідник, і проходить через точку, в якій визначається індукція магнітного поля.

Напрям силової лінії визначається за допомогою правила правого гвинта, як це показано на рисунку.

Поряд із індукцією магнітного поля магнітне поле характеризується напруженістю . Ця величина не залежить від властивостей середовища і дорівнює

. (11.2.2)

Величина напруженості магнітного поля входить в одне із рівнянь Максвелла. Розмірність напруженості буде встановлена трохи пізніше.

Закон Біо – Савара - Лапласа для напруженості магнітного поля Н має вигляд

, (11.2.3)

або в скалярній формі

. (11.2.4)

Магнітному полю властивий принцип суперпозиції. Це означає, що поля від кількох джерел магнітного поля накладаються як вектори, тобто

. (11.2.5)

Знайдемо індукцію магнітного поля біля безмежного прямого провідника із струмом (рис.11.4).

Скористаємось законом Біо – Савара - Лапласа в скалярній формі

, (11.2.6)

де кут a - це кут між напрямком елемента провідника із струмом і радіусом-вектором , як це показано на рис.11.4; - дотичний вектор до силової лінії, напрям якого збігаються з напрямком обертання правого гвинта.