Розподіл електронів у металі за енергіями. Енергія Фермі

Електричні, теплові, оптичні та ряд інших властивостей металів визначаються станом в них вільних електронів. Тому основним завданням квантової теорії є вивчення закономірностей розподілу вільних електронів у металі за енергіями. Оскільки електрони мають напівцілий спін , то вони відносяться до ферміонів і описуються квантовою статистикою Фермі-Дірака. З густиною квантових станів в енергетичній зоні ми уже ознайомилися в попередніх лекціях. На черзі квантовий розподіл Фермі-Дірака, який визначає імовірність заповнення квантових рівнів енергетичної зони електронами в умовах термодинамічної рівноваги.

Квантовий розподіл Фермі-Дірака має вигляд

,(2.6.1)

де f(Е) – імовірність заповнення електронами квантових рівнів енергетичної зони в області енергій Е; Е_ф- енергія Фермі; к – стала Больцмана; Т – абсолютна температура.

Для вияснення фізичної суті енергії Фермі слід проаналізувати вираз (2.6.1) при різних температурах.

При наближенні температури кристала до абсолютного нуля мож-ливі два випадки.

При T®0:

а) Е>Е_ф , f(E)®0;

б) Е_ф>Е ,f(E)®1.

Тобто квантові рівні електронів, розміщені вище енергії Фермі є пов-ністю вільними, а квантові рівні електронів нижче енергії Фермі, повністю заповнені електронами. Графічна ітерпретація цього аналізу показана на рис. 2.30.

З рисунка видно, що енергія Фермі – це найбільша енергія електронів у металі при абсолютному нулі температур. Вище цієї енергії немає жодного заповненого квантового рівня. Імовірність виявити електрон з енергією Е>Е_ф при цій температурі дорівнює нулю.

Рис. 2.30

Проте рівні з енергіями Е<Е_ф при Т=0 заповнені з імовірністю, рівною одиниці.

Розглянемо випадки, коли температура кристалу вища за абсолютний нуль.

При Т>0

а) Е=Е_ф, f(E)=1/2;

б) Е<E_ф,f(E)>1/2;в)Е>Е_ф,f(E)<1/2.

Графічна інтерпретація цього аналізу показана на рис.2.31.

Рис. 2.31

На рис. 2.31 показано, що при довільній температурі, вищій за абсолютний нуль, в енергетичній зоні вільних електронів невелика частина їх буде мати енергії Е>Е_ф , в той час як на рівнях з енергіями Е<E_ф появляться вакансії, тобто не заповнені квантові стани.

Температурний інтервал зміни енергії електронів біля енергії Фермі досить малий і не перевищує кількох відсотків. Це означає, що квантові рівні в металі, енергія яких менша за Е-кТ – заповнені повністю, а квантові рівні з енергіями більшими за Е+кТ є повністю вільними.