Тема. Розв’язання логарифмічних нерівностей

План

1. Графік функції у = log_a x, .

2. Рівносильні перетворення найпростіших логарифмічних нерівностей.

1. Графік функції у = loga x, .
зростає	спадає
2. Рівносильні перетворення найпростіших логарифмічних нерівностей
Знак нерівності не змінюється, і враховується ОДЗ	Знак нерівності змінюється, і враховується ОДЗ
Приклади
. ОДЗ: x – 5 > 0, тобто х > 5. Функція у = зростаюча, тоді х - 5 > 23, х > 13. Враховуючи ОДЗ, маємо х > 13. Відповідь: (13; + ).	. ОДЗ: x – 5 > 0, тобто х > 5. Функція в = спадна, тоді х - 5 < , х < 5 . Враховуючи ОДЗ, маємо 5 < х < 5 . Відповідь: (5; 5 ).
3. Розв’язання більш складних логарифмічних нерівностей
Орієнтир	Приклад
І. За допомогою рівносильних перетворень дану нерівність приводять до нерівності відомого виду. Схема рівносильних перетворень нерівності: 1. Ураховуємо ОДЗ заданої нерівності (і уникаємо перетворень, що приходять до звуження ОДЗ). 2. Стежимо за тим, щоб на ОДЗ кожне перетворення можна було виконати як у прямому, так і у зворотному напрямках із збереженням вірної нерівності	ОДЗ: x > 0. На цій ОДЗ дана нерівність рівносильна нерівностям: , . Заміна: . Тоді , тобто . Рішення цієї нерівності або     Обернена заміна дає або . Тоді або . Враховуючи, що функція у = lg x є зростаючої, одержуємо: або . За ОДЗ маємо: 0 < x 0,01 або . Відповідь: .
ІІ. Застосовується загальний метод інтервалів (дана нерівність приводиться до нерівності , ) і використовується схема: 1. Знайти ОДЗ; 2. Знайти нулі ; 3. Відзначити нулі функції на ОДЗ і знайти знак на кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ; 4. Записати відповідь, враховуючи знак нерівності.	Розв'яжемо нерівність методом інтервалів. Воно рівносильне нерівності . Позначимо . 1. ОДЗ: тобто   2. Нулі функції: . . Тоді . На ОДЗ це рівняння рівносильне рівнянню 2х + 3 = х2 (отриманому за означенням логарифма). Тобто х2 - 2х - 3 = 0, х1 = -1, х2 = 3. В ОДЗ входить тільки х = 3. Отже, має єдиний нуль функції х = 3. 3. Відзначаємо нулі функції на ОДЗ, знаходимо знак на кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ, і записуємо рішення нерівності .   Відповідь: х (0; 1) (3; + )

Вправи

Розв'язати нерівність

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) .