Тема. Розв’язання логарифмічних рівнянь

План

1. Розв’язання найпростіших логарифмічних рівнянь.

2. Використання рівнянь - наслідків.

3. Рівносильні перетворення логарифмічних рівнянь.

1. Розв’язання найпростіших логарифмічних рівнянь
Орієнтир	Приклад
Якщо а – число ( ), то (використовуємо визначення логарифма)	х – 1 = 32, х = 9 + 1, х = 10. Відповідь: 10
2. Використання рівнянь - наслідків
Орієнтир	Приклад
Якщо із припущення, що перша рівність вірна, випливає, що кожне наступне вірно, те гарантуємо, що одержуємо рівняння-наслідок. При використанні рівнянь – наслідків не відбувається втрати коренів вихідного рівняння, але можлива поява стороннього кореня. Тому перевірка отриманого кореня підстановкою у початкове рівняння є складовою частиною розв’язання.	За визначенням логарифма одержуємо х + 2 = х2, х2 – х – 2 = 0, х1 = -1, х2 = 2. Перевірка: х = -1 – сторонній корінь (в основі логарифма одержуємо від’ємне число); х = 2 – корінь, тому що Відповідь: 2
3. Рівносильні перетворення логарифмічних рівнянь
Заміна змінних
Орієнтир	Приклад
Якщо в рівняння (нерівність або тотожність) змінна входить у тому самому виді, то зручно відповідний вираз зі змінною позначити однієї буквою (новою змінною).	. Заміна: , , . Отже, або . Тоді х = 10-1 = 0,1 або х = 103 = 1000. Відповідь: 0,1; 1000.
Рівняння виду ( )
Орієнтир	Приклад
(враховуємо ОДЗ і дорівнюємо вирази, які стоять під знаками логарифмів)	ОДЗ: На цій ОДЗ дане рівняння рівносильне рівнянням: х2 – 2 = 4х – 5, х2 – 4х + 3 = 0, х1 = 1, х2 = 3, х1 = 1 – сторонній корінь (не задовольняє умовам ОДЗ); х2 = 3 – корінь (задовольняє умовам ОДЗ). Відповідь: 3
Рівносильні перетворення рівнянь в інших випадках
Орієнтир	Приклад
1. Ураховуємо ОДЗ даного рівняння ( і уникаємо перетворень, що приводять до звуження ОДЗ); 2. Стежимо за тим, щоб на ОДЗ кожне перетворення можна було виконати як у прямому, так і у зворотному напрямках зі збереженням вірної рівності	ОДЗ: На цій ОДЗ дане рівняння рівносильне рівнянням: , , , , х1 = 1, х2 = -5, х1 = 1 – корінь (задовольняє умовам ОДЗ); х2 = -5 – сторонній корінь (не задовольняє умовам ОДЗ). Відповідь: 1.

Вправи

1. Розв'язати рівняння:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) .