Уравнение неразрывности. Основным условием, которое должно соблюдаться при течении жидкости, является непрерывность изменения параметров потока в зависимости от координат и времени

Основным условием, которое должно соблюдаться при течении жидкости, является непрерывность изменения параметров потока в зависимости от координат и времени, т.е. при течении жидкости должны быть соблюдены условия при, которых жидкость должна двигаться в канале как сплошная среда, без разрывов.

Выделим внутри пространства с движущейся капельной жидкостью неподвижный контур в форме элементарного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz (см. рис. 2.35). Обозначим скорость жидкости, которая втекает в левую грань параллелепипеда, через . Скорость жидкости, вытекающей из правой грани, вследствие неразрывности поля скоростей равна

Рис. 2.35. Движение жидкости через контур

.

Поскольку рассматриваемый элементарный объем неподвижен, изменение скорости не зависит от времени. В направлении оси х через левую грань втечет за 1 с жидкость массой , а вытекает через правую грань

.

Значит, за 1 с из параллелепипеда вытекает в направление оси х жидкости больше, чем втекает, на

Аналогичные выражения получаются и для направлений x, y, z. Закон сохранения массы требует, чтобы сумма трех полученных приращений была равна нулю:

.

(2.33)

Это уравнение называют уравнением неразрывности, т.к. оно предполагает, что жидкость является сплошной средой.

Рассмотрим уравнение неразрывности для случая течения струйки при установившемся движении. Масса жидкости течет в трубке тока (см. рис. 2.34). Пусть левое входное сечение трубки тока имеет площадь и в этом сечении скорость жидкости , а ее плотность . Площадь сечения на выходе из трубки тока , скорость течения жидкости , и ее плотность . Скорости струйки направлены по касательной к стенкам трубки тока, поэтому через стенки обмен массой с окружающей жидкостью отсутствует. Через левое сечение втекает в единицу времени масса жидкости . Через правое сечение вытекает в единицу времени масса жидкости . В трубке тока масса жидкости, находящаяся между левым и правым сечениями, остается постоянной, следовательно, условие сплошности потока в трубке тока будет:

const.

(2.34)

Если плотность жидкости по длине трубки тока не изменяется, т.е. = , то можно записать для левого и правого сечений:

= const или const.

(2.35)

Полученное уравнение является уравнением неразрывности для трубки тока.

Для потока реальной жидкости уравнение неразрывности записывается в следующем виде:

,

(2.36)

где и – площади сечения потока в сечениях на входе и на выходе; и – средние скорости потока в этих сечениях.

Можно сделать два важных вывода:

1. При установившемся движении жидкости объемный расход не меняется;
2. При увеличении площади сечения потока жидкости средняя скорость уменьшается, и, наоборот, при уменьшении сечения - скорость увеличивается.