Устойчивое и подвижное радиоактивное равновесие

Число ядер радиоактивного элемента dN, распавшихся за бесконечно малый промежуток времени dt, пропорционально числу ядер N, еще не распавшихся к моменту времени t.

dN = -λNdt, (5.1)

где λ — коэффициент пропорциональности, характеризующий вероятность распада ядра в единицу времени и называемый постоянной распада данного радиоактивного изотопа. Интегрируя уравнение (5.1) и обозначая число атомов радиоактивного вещества в начальный момент времени (t = 0) через N₀, т. е. полагая N (t = 0)=N₀, получим

N = N₀e^-λt (5.2)

Из формулы (5.2) следует, что радиоактивный распад подчиняется экспоненциальному закону. В полулогарифмической системе координат (t, lnN) соотношение (5.2) изображается прямой линией, угловой коэффициент которой определяет постоянную распада λ:

lnN = lnN_{0- λt} (5.3)

Из уравнения (5.1) следует также, что произведение λN характеризует скорость радиоактивного распада, называемую обычно радиоактивностью или просто активностью (обозначается А):

A = λN = -dN/dt. (5.4)

Зная величину λ, можно вычислить среднюю продолжительность жизни радиоактивного ядра. Так как согласно выражению (1) суммарная продолжительность жизни атомов, распадающихся в промежуток времени между t и t + dt, равна tλNdt, то

(5.5)

Чаще продолжительность жизни радиоактивных элементов принято характеризовать не значением , а периодом полураспада Т — временем, на протяжении которого распадается половина всех атомов данного радиоактивного элемента. Полагая в уравнении (5.2) N = No/2 при t = T, получим

T = ln2/λ ≈ 0,693/λ = 0,693 (5.6)

Постоянная распада λ и период полураспада Т являются характерными величинами каждого радиоактивного элемента и имеют для него строго определенные значения. Для различных же элементов эти параметры меняются в больших пределах .

Когда рассматривается распад не отдельно взятого радиоактивного элемента, а образующегося при этом радиоактивного продукта его распада (дочернего элемента), закон изменения содержания последнего во времени может быть найден следующим образом. Предположим, что в начальный момент времени t = 0 имелось N₀₁ атомов исходного элемента, а к моменту времени t осталось N₁ атомов исходного и накопилось N₂ атомов дочернего элементов.

Скорость накопления дочернего элемента dN₂/dt, очевидно, будет определяться разностью скоростей распада исходного и дочернего элементов:

dN₂/dt = λ_lN₁ – λ₂N₂, (5.7)

где λ₁ и λ₂ — постоянные распада исходного и дочернего элементов соответственно. Подставив в выражение (5.7) значение

N₁ = N₀₁exp(-λ₁t),

получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

dN₂/dt+λ₂N₂=λ₁N₀₁exp(-λ₁t) (5.8)

Окончательное решение этого уравнения (Ларионов В.В., Резванов Р.А.,1988) дает изменение числа атомов радиоактивного продукта распада исходного элемента во времени и имеет вид:

(5.9)

Когда исходный элемент распадается медленнее, чем продукт его распада (λ₂ > λ₁), то через достаточно большой промежуток времени (t > T₂) этот процесс будет описываться выражением

, (5.10)

или с учетом формулы (1.2):

. (5.11)

Выражение (5.11) определяет состояние подвижного равновесия, при котором отношение количества исходного вещества и продуктов его распада стремится к некоторому постоянному значению.

Если исходное вещество распадается несоизмеримо медленнее продукта его распада (λ₂ >> λ₁), то для того же достаточно большого промежутка времени формула (5.11) приобретает вид:

или . (5.12)

Это выражение характеризует состояние устойчивого равновесия, когда число распадающихся атомов исходного вещества равно числу распадающихся атомов продукта его распада. Убыль дочернего вещества вследствие его распада полностью компенсируется его образованием из исходного.

Классическим примером такого равновесия является равновесие между ураном (Т = 4.49 10⁹ лет) и радием (Т = 1600 лет), которое наступает при истечении большого промежутка лет ( более 16000 лет) и наблюдается в хорошо сохранившихся горных породах и минералах, вынос и привнос урана или тория в которых исключены.

Необходимо заметить, что процессы радиоактивного распада носят статистический характер и высокая статистическая точность измерений радиоактивности обеспечивается лишь в случае, когда измерения проводятся на протяжении достаточно большого промежутка времени.