Свойства функции распределения.
1) 
, т.к. F(x) – вероятность.
2) F(x) не убывает на все числовой оси.
Док-во:Возьмем х1<x2. Рассмотрим вероятность того, что Х<x2: P(X<x2). A={X<x2}. B={x1<=X<x2}. A+B={X<x2}. События А и В несовместны. Значит, P(A+B)=P(A)+P(B)= =F(x2)=F(x1)+P(x1<=X<x2). Последнее слагаемое в равенстве >=0. Значит, F(x2)>= F(x1).Доказано.
3)P(x1<=X<x2)=F(x2)-F(x1)
4)Функция распределения F(x) всегда непрерывна.
Док-во:Аксиома 3 из определения вероятности (если А1,А2,… 
F (F-алгебра), причем Ai*Aj=Ø для i 
j, то Р(А1+А2+…)= 
) эквивалентна аксиоме непрерывности (если В1,В2,…,Вk, … - последоват. таких событий, что Bn+1 
Bn, n=1,2,… и 
, то 
). Доказать самостоятельно эквивалентность аксиом. Непрерывность функции F(x) будем док-ть с помощью определения предела по Гейне: х1,х2,…,хn – любая последовательность, удовлетворяющая двум условиям:
1)х1<х2<…<хn<…<x0;
2) 
.
Событие An={xn<=X<x0}, An+1 
An. Согласно аксиоме непрерывности:
Р(Аn)=P(xn<=X<x0)=F(x0)-F(xn).
.
По Гейне 
. Значит, функция непрерывна слева. Доказано.
5) 
Док-во: 
={X<п}, An={X>=n}, An+1 An .
Доказано.
Дата добавления: 2015-06-27; просмотров: 610;